CV abs sans CV dans E non complet

Bonsoir,
un exemple assez simple est donné par $\sum_{n\geqslant 1} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$.
LP

Bonsoir
Je pense que le contre-exemple est intéressant s'il est dans un espace vectoriel normé non complet.

Il y a un autre exemple dans un espace de fonctions, je l'ai vu dans préparation de l’agrégation.
Je le rechercherai.

Soit un espace vectoriel normé $(E,\| \cdot \|)$, (sur $\K=\R$ ou $\C$ mettons, ou plus généralement sur un corps valué quelconque).
Alors la complétude dudit espace est équivalente au fait que toute série absolument convergente de $E$ est convergente.

Pour le sens méconnu: soit $(x_n)_{n\in \N} \in E^{\N}$ une suite de Cauchy. On définit par récurrence une suite $\alpha:\N \to \N$ en posant $$\alpha(0) := 0 \text{ et }\alpha(n+1):= \min \left \{m \geq 1+\alpha(n) \mid \forall p\geq m, \|x_p - x_m \| \leq \frac{1}{2^n} \right \}$$

Alors $\alpha$ est strictement croissante et la série de terme général $y_0:=x_0=x_{\alpha(0)}$, $y_n:=x_{\alpha(n)}-x_{\alpha(n-1)}$ pour $n\geq 1$ est absolument convergente puisque $$\sum_{n=0}^{+\infty} \| y_n\| \leq \|x_0\| +\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} < +\infty$$
Donc cette série converge, autrement dit $x_{\alpha(n)} = x_0 + y_1 +y_2 +\ldots y_n$ tend vers un certain $\ell$ quand $n\to +\infty$.
Comme $(x_n)_{n \in \N}$ est de Cauchy, cette suite tend vers toute limite de n'importe quelle de ses suites convergentes et donc $x_n$ tend vers $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Un exemple encore dans $\mathbb Q$.
Remarque : il faut se méfier, $\mathbb Q$ ne rentre pas bien dans les espaces vectoriels normés.

On considère $\sum_{k=1}^{\infty} a_k x^k$ le développement en série de $1-\sqrt{1+x}$.
On trouve que la suite $(a_k)_k$ est une suite alternée de sorte que :

pour $x=\dfrac{-9}{25}$ ça revient à calculer $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} |a_k| \left( \dfrac{9}{25}\right) ^k$ et c'est rationnel, on a donc convergence absolue.
pour $x=\dfrac{9}{25}$ ça revient à calculer $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k \left( \dfrac{9}{25}\right) ^k$ et c'est irrationnel, on n'a donc pas convergence.

@Foys : Bravo, tu viens de fournir la solution de la question la plus difficile de mon DM de cette semaine !! (:P)

@Foys : Non, j'ai dit cela en rigolant... De toute façon, ils ne viendraient pas chercher de l'aide ici, et en plus, ils ont rendu le devoir ce matin. L'exemple fourni par LP un peu plus haut est également dans le corrigé.
En revanche, je ne connaissais pas l'exemple de Dom : je le garde sous le coude.

Je me pose souvent la question. J’ai l’impression que la plupart sont au dessus de la trentaine. Mais j’ai remarqué que nous étions plutôt secrets pour la plupart. ;-)

Merci pour votre réponse Gérard.

Très élégant @rakam.

Sur [0,1] : (edit : je laisse mais ce n’est pas du tout ce qui est demandé)
Pour tout $n>2$, $f_n$ continue telle que
$f_n=0$ sur $[0,1/2-1/n]$
$f_n=1$ sur $[1/2+1/n,1]$
$f_n$ affine sur $[1/2-1/n,1/2+1/n].$
1) Démontrer que $(f_n)_n$ est de Cauchy.
2) Démontrer que la limite simple (qui existe) n’est pas continue.

Édit : Pardon j’ai répondu à une autre question...

@Dom : ce que tu avances ne suffit pas à répondre par la négative à la question. La série des normes des $f_n$ converge, donc la série des $f_n$ converge absolument dans l'espace $\mathcal C^0([0, 1])$ muni de la norme $|| \cdot ||_1$. Par contre tu n'as pas prouvé que la série des $f_n$ ne converge pas dans cet espace, on ne parle pas de convergence simple ! Je vais juste faire démarrer ta suite à partir de $2$ pour le confort des notations (ton $f_1$ est à support hors de $[0, 1]$).

Une expression de $f_n$ est $$x \mapsto \left\{\begin{matrix} 0 \text{ si } |x-\frac{1}{2}| \geq \frac{1}{n}\\ x- \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n}\right) \text{ si } \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \leq x \leq \frac{1}{2}\\ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{n}\right) - x \text{ si } \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{n}\end{matrix}\right..$$ Ainsi, si $x \in [0, \frac{1}{2}[$ et $n \geq 2$ sont tels que $\frac{1}{2} - \frac{1}{n} \leq x < \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$, alors pour tout $m \geq n$ on a $$\sum_{k=2}^m f_k(x) = \sum_{k=2}^n f_k(x) = n\left(x-\frac{1}{2}\right) + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}$$ tandis que si $m < n$ alors $$\sum_{k=2}^m f_k(x) = m\left(x-\frac{1}{2}\right) + \sum_{k=2}^m \frac{1}{k}.$$ Pour tout $n \geq 2$, notons $H_n := \displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}$. Supposons l'existence d'une fonction $g$ continue telle que $\displaystyle \sum_n f_n$ converge vers $g$ pour la norme $|| \cdot||_1$, c'est-à-dire que $$\int_0^{1} \left|\sum_{k=2}^n f_k(x) - g(x)\right| \,dx \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0.$$ Pour tout $n \geq 2$, on a $$\int_0^{\frac{1}{2}} \left|\sum_{k=1}^n f_k(x) - g(x)\right| \,dx = \sum_{j=2}^{n-1} \int_{\frac{1}{2} - \frac{1}{j}}^{\frac{1}{2} - \frac{1}{j+1}} \left|j\left(x-\frac{1}{2}\right) + H_j - g(x)\right| \,dx + \int_{\frac{1}{2} - \frac{1}{n}}^{\frac{1}{2}} \left|n\left(x-\frac{1}{2}\right) + H_n - g(x)\right| \,dx.$$ Par positivité et continuité, on en déduit que, pour tout $n \geq 2$ et pour tout $x \in \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{n}, \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}\right]$, on a $g(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k(x)$. Ue telle fonction étant non bornée sur $[0, 1]$, on obtient une contradiction.

En analysant la preuve, on voit qu'il suffit de sommer des fonctions positives dont les supports sont décroissants pour l'inclusion, de diamètre tendant vers $0$ et dont les valeurs en le point limite ne soient pas sommables.

Même si on a $\displaystyle \sum_{k \geq 0} g_k\left(\frac{1}{2}\right) = +\infty$, on ne peut pas en déduire qu'il n'y a pas convergence dans $\mathcal C^0([0, 1])$ muni de $|| \cdot ||_1$, par exemple en se débrouillant pour que $\displaystyle \sum_{k =0}^n g_k = f_n$ avec tes notations, dans ce cas la série converge vers $0$ dans cet espace !

Autre remarque : la série de tes $f_n$ converge bien dans $L^1([0, 1])$.