CV abs sans CV dans E non complet
Bonjour,
je cherche des contre-exemples de séries qui CV abs sans avoir la CV tout court
il faut pour cela des [espaces] métriques non complets.
J'ai pensé à ceci tout simple.
Dans $E =\mathbb{R}\setminus \{ 2 \}$, non complet, alors $\sum_{n
\geqslant 0} \frac{(- 1)^n}{2^n}$ CV et pourtant $\sum_{n \geqslant
0} \frac{1}{2^n}$ DV.
Un exemple canonique de métrique non complet est $\mathbb{Q}$ mais je ne parviens pas à trouver de contre-exemple, donc une série qui CV abs vers un irrationnel mais qui CV au sens usuel vers un rationnel.
Peut-on imaginer d'autres exemples ?
Dans le Hauchecorne je n'en vois pas.
je cherche des contre-exemples de séries qui CV abs sans avoir la CV tout court
il faut pour cela des [espaces] métriques non complets.
J'ai pensé à ceci tout simple.
Dans $E =\mathbb{R}\setminus \{ 2 \}$, non complet, alors $\sum_{n
\geqslant 0} \frac{(- 1)^n}{2^n}$ CV et pourtant $\sum_{n \geqslant
0} \frac{1}{2^n}$ DV.
Un exemple canonique de métrique non complet est $\mathbb{Q}$ mais je ne parviens pas à trouver de contre-exemple, donc une série qui CV abs vers un irrationnel mais qui CV au sens usuel vers un rationnel.
Peut-on imaginer d'autres exemples ?
Dans le Hauchecorne je n'en vois pas.
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Réponses
un exemple assez simple est donné par $\sum_{n\geqslant 1} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$.
LP
En revanche, dans l'exemple de ton premier message, il y a convergence sans avoir convergence absolue alors que tu voulais le contraire.
Il vaudrait mieux du coup se placer dans $\mathbb{R}\setminus\{\frac{2}{3}\}$.
Je pense que le contre-exemple est intéressant s'il est dans un espace vectoriel normé non complet.
@LP autant pour moi je me suis trompé
@Makhlouf
certes, alors $\mathbb{Q}$ est bien un evn non complet non ?
As-tu d'autres contre-exemples du coup dans d'autres evn non complets ?
En fait j'ai du mal à trouver des exemples d'espaces non complets dans lesquels ma recherche de contre-exemples puisse avoir du sens.
Je le rechercherai.
Dans l’espace des fonctions continues sur $[0;1]$ muni de la norme « intégrale sur 0,1 ».
Alors la complétude dudit espace est équivalente au fait que toute série absolument convergente de $E$ est convergente.
Pour le sens méconnu: soit $(x_n)_{n\in \N} \in E^{\N}$ une suite de Cauchy. On définit par récurrence une suite $\alpha:\N \to \N$ en posant $$\alpha(0) := 0 \text{ et }\alpha(n+1):= \min \left \{m \geq 1+\alpha(n) \mid \forall p\geq m, \|x_p - x_m \| \leq \frac{1}{2^n} \right \}$$
Alors $\alpha$ est strictement croissante et la série de terme général $y_0:=x_0=x_{\alpha(0)}$, $y_n:=x_{\alpha(n)}-x_{\alpha(n-1)}$ pour $n\geq 1$ est absolument convergente puisque $$\sum_{n=0}^{+\infty} \| y_n\| \leq \|x_0\| +\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} < +\infty$$
Donc cette série converge, autrement dit $x_{\alpha(n)} = x_0 + y_1 +y_2 +\ldots y_n$ tend vers un certain $\ell$ quand $n\to +\infty$.
Comme $(x_n)_{n \in \N}$ est de Cauchy, cette suite tend vers toute limite de n'importe quelle de ses suites convergentes et donc $x_n$ tend vers $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Sinon, puisque elodouwen souhaitait quelques illustrations, y a un truc rigolo mais assez naturel. L’idée est de prendre la série de terme général $10^{-n}$ (qui converge vers le rationnel $r=\frac{10}{9}$). On réarrange ensuite les termes de la série dans un ordre convenable(ce terme est bien la valeur absolue d’un truc*). On considère l’irrationnel $\alpha=0,\alpha_1\alpha_2 \alpha_3...$ formé uniquement de $0$ et de $1$(sans périodicité!). On a pour tout entier naturel non nul $i$, $\alpha_i =\frac{1-(-1)^{\alpha_i}}{2}$, d’où un bon candidat pour truc(*) : $(-1)^{\alpha_n} 10^{-n}$, de sorte que $\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{\alpha_n} 10^{-n}$ ait un sens et vaut alors :
$\sum_{n=1}^{+\infty} ((-1)^{\alpha_n} -1)10^{-n}+\sum_{n=1}^{+\infty} 10^{-n}=2\alpha +r-1$.
En conclusion, la série de terme général $(-1)^{\alpha_n} 10^{-n}$ ne converge pas dans $\mathbb{Q}$ mais converge absolument.
Remarque : il faut se méfier, $\mathbb Q$ ne rentre pas bien dans les espaces vectoriels normés.
On considère $\sum_{k=1}^{\infty} a_k x^k$ le développement en série de $1-\sqrt{1+x}$.
On trouve que la suite $(a_k)_k$ est une suite alternée de sorte que :
pour $x=\dfrac{-9}{25}$ ça revient à calculer $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} |a_k| \left( \dfrac{9}{25}\right) ^k$ et c'est rationnel, on a donc convergence absolue.
pour $x=\dfrac{9}{25}$ ça revient à calculer $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k \left( \dfrac{9}{25}\right) ^k$ et c'est irrationnel, on n'a donc pas convergence.
Or des fonctions $\phi[\mod 2]$, il y en a une infinité non dénombrable, donc la plupart du temps, ça nous donne des irrationnels !
En revanche, je ne connaissais pas l'exemple de Dom : je le garde sous le coude.
Quelle est la moyenne d'âge sur le forum ? (Personnellement j'ai 19 ans.)
Les questionneurs sont généralement plus jeunes que les répondeurs, mais ça assure des réponses solides sur les questions "classiques".
Et on ne voit quasiment plus de lycéens (rebutés par les débats entre répondeurs, incompréhensibles pour eux), mais pas mal de profs ou de cadres voulant le devenir.
Il y a 15 ans, le fil "Qui sommes nous ?" avait donné quelques réponses; mais la plupart des répondeurs ont disparu (parfois décédés comme RAJ) et il a vécu 2 ans.
L'an dernier, le fil "Qui êtes-vous ?" a tourné vite en eau de boudin : la confiance entre les participants qui existait dans les débuts du forum est perdue, des discussions "café du commerce" et des oppositions idéologiques sont apparues, qui font que beaucoup de participants ne veulent plus répondre (sans compter quelques malades mentaux assez pénibles quand ils ont quelques connaissance de ton identité - j'ai dû changer de pseudo !).
Mais quand on fréquente longuement le forum, on connaît à peu près la situation des répondeurs sérieux (qui font des maths). Et on sait que ceux qui viennent régulièrement sans jamais donner de réponses aux questions mathématiques ne sont pas là pour aider, seulement pour influencer idéologiquement (il y en a !!) et politiquement.
Cordialement.
La série $\sum v_n$ définie par $v_0\in E,\;\forall n\in\N,\;v_{n+1}=u_{n+1}-u_n$ est divergente et absolument convergente
Contre-exemples de CV absolue n'entraînant pas la CV
Rappel : pour les séries à valeurs dans un espace $E$ complet, CV absolue $\Rightarrow$ CV.
1) Dans $E =\mathbb{R}\setminus \{ 2 \}$, non complet, alors $\underset{n \geqslant 0}{\sum} \frac{(- 1)^n}{2^n}$ CV et pourtant $\underset{n \geqslant 0}{\sum} \frac{1}{2^n}$ DV.
2) Soit $x = 0, b_1 b_2 \ldots$ un irrationnel avec les $b_i$ tous à valeurs dans $\{ 0, 1 \}$.
Soit $u_n = \dfrac{(- 1)^{b_n}}{10^n}$. alors $\sum | u_n |$ CV vers $\dfrac{1}{9} \in \mathbb{Q}$.
Pourtant $u_n = \dfrac{1}{10^n} - \dfrac{1 - (- 1)^{b_n}}{10^n}$ CV vers $\dfrac{1}{9} - 2 x \notin \mathbb{Q}$.
On a un contre-exemple de série ACV mais pas CV (dans $\mathbb{Q}$, non
complet).
3) Autres exemples.
a) $\sum \frac{(- 1)^n}{n (n + 1)}$ CVA dans $\mathbb{Q}$ vers 1 mais CV dans $\mathbb{R}$ seulement vers $1 - 2 \ln 2$.
b) $1 - \sqrt{1 + x} = \sum a_n x^n$, on peut d{\'e}montrer que le signe de $(a_n)$ est celui de $(- 1)^n$.
On prend $x = \pm \frac{9}{25}$ qui va donner une série DV alors que la série des $| . |$ CV.
4) Construction théorique. Soit $E$ normé non complet. Alors il existe une suite $(u_n)$ de Cauchy non convergente.
Pour $n \in \mathbb{N}$, soit $f (n)$ le rang à partir duquel $\| u_a - u_b \| \leqslant \frac{1}{2^p}$.
Définissons $(v_n)$ par $v_n = u_{f (n)}$.
Alors $\sum \| v_{n + 1} - v_n \|$ CV mais $\sum (v_{n + 1} - v_n)$ DV. (Se rappeler que $(u_n)$ est de Cauchy, donc elle avait une sous-suite convergeant vers $\ell$, alors on aurait $u_n \rightarrow \ell$).
5) Cette construction donne la démonstration de la proposition suivante.
Proposition. Si toute série absolument CV d'un espace normé $E$ est convergente, alors $E$ est complet.
Preuve. Soit $(u_n)$ de Cauchy, prendre $(v_n)$ comme dans le 4) ci-dessus, on a alors la CV de $\sum (v_{n + 1} - v_n)$, c'est-à-dire d'une sous-suite de $(u_n)$. Le critère de Cauchy assure alors rapidement la CV de $(u_n)$.
Vous dites qu'on peut trouver un contre-exemple Dans l’espace des fonctions continues sur $[0;1]$ muni de la norme « intégrale sur $[0,1]$ ».
Pouvez-vous préciser ?
Pour tout $n>2$, $f_n$ continue telle que
$f_n=0$ sur $[0,1/2-1/n]$
$f_n=1$ sur $[1/2+1/n,1]$
$f_n$ affine sur $[1/2-1/n,1/2+1/n].$
1) Démontrer que $(f_n)_n$ est de Cauchy.
2) Démontrer que la limite simple (qui existe) n’est pas continue.
Édit : Pardon j’ai répondu à une autre question...
$(f_n)_n$ la suite de fonctions sur [0,1] qui donnent (resp. dont les graphes sont) un triangle isocèle, de base centrée en 1/2, de longueur 2/n, et de hauteur de $f_n(1/2)=1/n$ (nulle ailleurs).
Si je ne me trompe pas : pour tout $n$, $||f_n||=1/n^2$, (c’est l’aire du triangle). C’est un terme générale dont la série converge.
Aussi, $f_n$ tend (au sens de la convergence simple) vers la fonction nulle (le triangle s'aplatit - son sommet principal tend vers (1/2;0) - et sa base rétrécit).
Par contre la somme des $f_n$ ne converge pas car en $1/2$ ça diverge (série harmonique).
Bon apéro du vendredi (qui je l’espère ne m’a pas déjà attaqué de trop...)
Une expression de $f_n$ est $$x \mapsto \left\{\begin{matrix} 0 \text{ si } |x-\frac{1}{2}| \geq \frac{1}{n}\\ x- \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n}\right) \text{ si } \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \leq x \leq \frac{1}{2}\\ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{n}\right) - x \text{ si } \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{n}\end{matrix}\right..$$ Ainsi, si $x \in [0, \frac{1}{2}[$ et $n \geq 2$ sont tels que $\frac{1}{2} - \frac{1}{n} \leq x < \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$, alors pour tout $m \geq n$ on a $$\sum_{k=2}^m f_k(x) = \sum_{k=2}^n f_k(x) = n\left(x-\frac{1}{2}\right) + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}$$ tandis que si $m < n$ alors $$\sum_{k=2}^m f_k(x) = m\left(x-\frac{1}{2}\right) + \sum_{k=2}^m \frac{1}{k}.$$ Pour tout $n \geq 2$, notons $H_n := \displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}$. Supposons l'existence d'une fonction $g$ continue telle que $\displaystyle \sum_n f_n$ converge vers $g$ pour la norme $|| \cdot||_1$, c'est-à-dire que $$\int_0^{1} \left|\sum_{k=2}^n f_k(x) - g(x)\right| \,dx \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0.$$ Pour tout $n \geq 2$, on a $$\int_0^{\frac{1}{2}} \left|\sum_{k=1}^n f_k(x) - g(x)\right| \,dx = \sum_{j=2}^{n-1} \int_{\frac{1}{2} - \frac{1}{j}}^{\frac{1}{2} - \frac{1}{j+1}} \left|j\left(x-\frac{1}{2}\right) + H_j - g(x)\right| \,dx + \int_{\frac{1}{2} - \frac{1}{n}}^{\frac{1}{2}} \left|n\left(x-\frac{1}{2}\right) + H_n - g(x)\right| \,dx.$$ Par positivité et continuité, on en déduit que, pour tout $n \geq 2$ et pour tout $x \in \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{n}, \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}\right]$, on a $g(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k(x)$. Ue telle fonction étant non bornée sur $[0, 1]$, on obtient une contradiction.
En analysant la preuve, on voit qu'il suffit de sommer des fonctions positives dont les supports sont décroissants pour l'inclusion, de diamètre tendant vers $0$ et dont les valeurs en le point limite ne soient pas sommables.
Intuitivement, on voit bien que ça va clocher avec la continuité (disons que ça devrait rester borné et continu) en sommant ces triangles.
Intuitivement, on a une pointe (une sorte de tour Eiffel ? Comment tracer ce truc facilement ?) de hauteur infinie.
Merci d’avoir levé « intuitivement » au profit d’une preuve.
Autre remarque : la série de tes $f_n$ converge bien dans $L^1([0, 1])$.
D’ailleurs, c’est « évident » que ça converge dans $L^1$ puisqu’il est complet.