Borne supérieure

Bonsoir,

En plus de ce qu'a dit @elodouwen, et pour voir plus clair :

- $ \mathrm{im} f $ est bornée, et donc, par symétrie à l'axe des abscisses, $ \mathrm{im} (-f) $ est aussi bornée, car : $ ( \mathcal{C}_{-f} ) $ est l'image de $ ( \mathcal{C}_f ) $ par rapport à l'axe des abscisses par l'application symétrie orthogonale : $ s \ : \ \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $.
Comme tu le sais certes, une symétrie orthogonale $ s \ : \ \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $ est une isométrie, donc préserve les distances et a fortiori les longueurs, c'est-à-dire, la taille des objets.

Poirot a écrit:

@Pablo : pourquoi $ \mathrm{im} f $ est bornée ?

Parce que, par hypothèse, $ \displaystyle \sup_{ x \geq 0 } f(x) < + \infty $, donc, $ \mathrm{im} f $ admet un majorant. De l'autre coté, $ f $ est définie par : $ f \ : \ \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ $, donc, $ \mathrm{Im} f $ admet un minorant. Non ?