Comment étudier cette suite ?

Topotopo
Topotopo
dans Analyse
Bonjour

s'il vous plait comment savoir si cette la suite $\prod_{m=1}^n \cos(m x)$ converge ?

Réponses

  • noobey
    noobey
    Hello, pour tout $x$ tel que $\pi/x$ est irrationnel, on peut montrer que la suite $(\cos(mx))$ est dense dans $[-1,1]$.
    Puis comme tu multiplies que des termes de norme < 1, $|\prod_{m=0}^n \cos(mx)| \leq \min_{m =0,\ldots,n} |\cos(mx)|$.
  • Poirot
    Poirot
    Si un produit infini ne contenant pas $0$ converge (*), alors son terme général tend vers $1$. Sinon, il peut y avoir divergence vers $0$, mais à la condition que le terme général admette $0$ pour valeur d'adhérence. Il est bien connu que si $x$ est incommensurable avec $\pi$, alors la suite $(\cos(mx))_{m \in \mathbb N})$ est dense dans $[-1, 1]$, donc il n'y pas convergence. Par contre il peut y a divergence vers $0$, puisque si $(\varphi(n))_n$ désigne un suite d'entiers strictement croissante telle que $\cos(\varphi(n)x)$ converge vers $0$, on a $$\left|\prod_{m=1}^n \cos(mx)\right| \leq \left|\cos(\varphi(n')x)\right|$$ où $n'$ est le plus grand entier tel que $\varphi(n') \leq n$, et donc le produit diverge vers $0$. Si $x$ est commensurable avec $\pi$ il y a quelques cas à considérer mais qui se traitent facilement.

    (*) Au sens de la convergence usuelle des produits infinis vers une limite non nulle.
  • Topotopo
    Topotopo
    Je suis désolé mais je n'arrive pas a comprendre par quoi on commence pour étudier cette suite s'il vous plait
  • 20-sided-dice
    20-sided-dice
    Je sais pas si ça aide mais $\displaystyle \bigg|\prod_{m=1}^n{\cos(mx)}\bigg|_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une suite décroissante minorée par 0.

    Du coup la valeur absolue de ta suite converge vers un $\lambda\geqslant 0$.
    Donc dans le "pire" des cas, ta suite a deux valeurs d'adhérence : $\lambda$ et $-\lambda$.
  • Topotopo
    Topotopo
    Comment on montre que $\displaystyle \bigg|\prod_{m=1}^n{\cos(mx)}\bigg|_{n\in\mathbb{N}^*}$ est décroissante

    on fait comment avec le produit ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonsoir.

    Valeur absolue d'un produit égale produit des valeurs absolues + $-1\le \cos(u) \le 1$.

    Cordialement.
  • Topotopo
    Topotopo
    Ah oui donc $$\Big|\prod_{m=1}^n\cos(mx)\Big|=\prod_{m=1}^n |\cos(mx)|\leq \prod_{m=1}^n 1=1,

    $$ donc cette suite est minoré par -1.
    E    t pour la décroissance on dérive ?
  • OShine
    OShine
    J'avoue que je n'ai pas trop compris non plus les remarques de Noobey et Poirot qui m'ont l'air compliquées.

    Pour la décroissance, je ferais plutôt le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
  • Topotopo
    Topotopo
    bonne idée

    $u_{n+1}/u_n=\cos((n+1)x)\leq1$

    donc $u_{n+1}<u_n$

    ce qui veut dire que $(u_n)$ converge vers -1
  • OShine
    OShine
    Attention à ne pas oublier les valeurs absolues sinon c'est faux.
  • Topotopo
    Topotopo
    ah oui et si je mais $|u_{n+1}|<|u_n|$ est ce que ca veux dire qu'elle est décroissante ?
  • 20-sided-dice
    20-sided-dice
    Oui c'est ça.

    Et comme ta suite (avec les valeurs absolues !) est décroissante et minorée, ça veut dire qu'elle converge.

    Tu ne sais pas où. Et ça ne te garantit pas que ton produit sans valeurs absolues converge, mais c'est déjà ça.
  • Topotopo
    Topotopo
    donc on ne peux pas savoir ou converge $(u_n)$ ?
  • 20-sided-dice
    20-sided-dice
    Peut-être que si, mais pas avec cet argument. Cette démonstration te donne l'existence d'une limite.

    Mais ta question d'origine laissait penser que tu étais juste intéressé par l'existence de la limite et pas sa valeur (même si on est d'accord que c'est toujours mieux de la connaître).
  • OShine
    OShine
    SI $(u_n)$ converge alors $(|u_n|)$ converge par contre la réciproque est fausse.
  • Topotopo
    Topotopo
    La question est "étudier la nature de la suite " d'habitude on dit convergente et sa limite est ...

    Qu'elle pourrait être l'autre méthode ?
  • 20-sided-dice
    20-sided-dice
    Oui pardon je parlais de la suite $\displaystyle \left|\prod_{m=1}^n{cos(mx)}\right|_{n\in\mathbb{N}^*}$ donc avec valeur absolue.

    Désolé si c'était pas clair.
  • 20-sided-dice
    20-sided-dice
    Pour étudier ta suite $\displaystyle \left(\prod_{m=1}^n{cos(mx)}\right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ de manière plus fine, il va probablement falloir s'intéresser, comme te l'ont indiqué d'autres avant moi, à la valeur de $x$.

    Il y a des cas plus faciles que d'autres à étudier. Commence par les valeurs de $x$ les plus simples qui te viennent en tête pour commencer à te faire une idée.
  • LOU16
    LOU16
    Bonsoir,

    $\bullet \quad $ Si $x= 2k\pi\:\:(k\in \Z),\:\:$ alors $\: \forall n \in \N,\:\: u_n=1.$
    $\bullet \quad$ Si $x=( 2k+1) \pi \:\: (k\in \Z),\:\:$ alors la suite $\:(u_n)_{n\in \N}$ prend une infinité de fois chacune des valeurs $1$ et $-1$, et ne converge donc pas.
    $\bullet \quad $ Soit $\:x\in \R$ tel que $\dfrac x{\pi} \notin \Z.\quad $Prouvons que: $\:\:\: \quad\exists n \in \N,\:\text{tel que}:\:\: n>1, \:\: |\cos(nx)| \leqslant \dfrac12. \quad\quad(\star) $
    $\quad1)\quad$ Si $\:\:\dfrac12 \leqslant |\cos x| <1,\:$ alors $\:x= k\pi + t $ avec $k\in \Z$ et $ 0<|t| \leqslant \dfrac{\pi}3.\:$ L'entier $n =1+ \Big\lfloor \dfrac {\pi}{3|t|}\Big\rfloor $ est tel que $ |\cos (nx)| \leqslant \dfrac 12\:$ et $\:n>1.$
    $\quad2)\quad $ Si $\:\: |\cos x|< \dfrac12,\:\:$ alors $|\cos (3x)|\neq1$ et si $\:\dfrac 12< |\cos(3x)| <1, \:$ on applique $1): \exists n \in \N^*\:$ tel que $ |\cos (3nx) | \leqslant \dfrac 12.$
    Ainsi, $(\star)$ entraine l'existence d'une infinité de $n \in \N$ pour lesquels $|\cos(nx) |\leqslant \dfrac 12:\quad \boxed{\displaystyle \lim_{n\to+ \infty} u_n =0.}$
  • side
    side
    supp
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