Utilisation de $\limsup$ et $\liminf$

naforito
naforito
dans Analyse
Soit $X_n$ une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètres respectifs $p_n$ définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\tau,P)$.

Pour un développement d'une probabilité :
$P(\{ \omega \in \Omega / X_n(\omega) \rightarrow _{n\rightarrow \infty}0\})= P(\{ \omega \in \Omega / \exists N \in \mathbb{N} ,\ X_n(\omega) =0,\ \forall n \in \mathbb{N}\})$
Donc ici le prof a sorti premièrement $\exists$ pour l'union puis $\forall$ pour l'intersection car il veut l'écrire comme une $\liminf$.

Ma question est-ce qu'on peut faire l'inverse si on veut ?

Réponses

  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Bonjour naforito.
    Ecrit comme cela ce n’est pas juste : il manque très certainement un pour tout epsilon et ce ne doit pas être pour tout $n\in \N$. En l’état on ne peut pas répondre à ta question.
  • aléa
    aléa
    Ce n'est pas une très bonne idée d'écrire le quantificateur à la fin. Et en plus comme dit Boole et Bill, ici c'est faux, je suppose qu'il pensa$\forall n\ge N$.
    C'est un abus d'écriture qui rend l'écriture ensembliste plus difficile.

    Quand tout est au carré, c'est très simple de traduire les $\forall$ par des $\cap$ et les $\exists$ par des $\cup$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Hum hum, un quantificateur devant, un autre derrière, ça ne le fait pas trop. Et je suppose que tu as oublié $n\geq N$ dans l'histoire. En fait, ça doit être
    $$\{\omega\in \Omega\mid \exists N \ \forall n \geq N\ X_n(\omega)=0\}\;.$$
    Et oui, c'est bien la même chose que
    $$\bigcup_N \{\omega\in \Omega\mid \forall n \geq N\ X_n(\omega)=0\} = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N} \{\omega\in \Omega\mid X_n(\omega)=0\}\;.$$
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Au temps pour moi on peut se passer du epsilon puisque les $X_n$ sont à valeurs entières. Et la seule coquille est le pour tout $n\in \N$. On ne peut pas faire l’inverse puisqu’on doit appliquer la définition d’une limite.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bien sûr que si, on peut "faire l'inverse" (les égalités vont dans les deux sens !).
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Je crois que je n’ai pas compris ce que vous voulez dire par faire l’inverse. J’ai compris faire la négation. Désolé du dérangement naforito.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    C'est vrai que le "faire l'inverse" de Naforito peut prêter à différentes interprétations.
    Si c'est "sortir/rentrer" , pas de souci.
    Si c'est "d'abord sortir $N$, puis sortir $n$" opposé à "d'abord $n$, puis $N$", Boole et Bill a raison : c'est NON.
    On voit là le danger de mettre un quantificateur devant et un derrière. Et aussi l'erreur d'oublier le $n\geq N$.
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