Suite
Bonsoir, j'aimerais savoir si de la manière je considère la suite c'est exact.
Soit $(U_{n})_{n \geq 1}$ une suite réelle à termes positifs, on lui associe la suite $(V_{n})_{n \geq 1}$ définie par $V_{n}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}+\cdots+\sqrt{U_{n}}}}$.
On me demande de montrer que la suite $(V_{n})_{n \geq 1}$ est croissante.
Je commence par calculer des valeurs de la suite, ainsi $V_{1}=\sqrt{U_{1}}$
$V_{2}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}}}$ , $V_{3}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}+\sqrt{U_{3}}}}$.
Je veux donc savoir si $V_{4}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}+\sqrt{U_{3}+\sqrt{U_{4}}}}}$, ou $V_{4}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}+\sqrt{U_{3}}+\sqrt{U_{4}}}}$.
C'est juste pour avoir les idées claires pour continuer mon exercice afin de ne pas me tromper sur l'expression de $V_{n+1}$.
Merci d'avance pour votre réponse.
Soit $(U_{n})_{n \geq 1}$ une suite réelle à termes positifs, on lui associe la suite $(V_{n})_{n \geq 1}$ définie par $V_{n}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}+\cdots+\sqrt{U_{n}}}}$.
On me demande de montrer que la suite $(V_{n})_{n \geq 1}$ est croissante.
Je commence par calculer des valeurs de la suite, ainsi $V_{1}=\sqrt{U_{1}}$
$V_{2}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}}}$ , $V_{3}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}+\sqrt{U_{3}}}}$.
Je veux donc savoir si $V_{4}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}+\sqrt{U_{3}+\sqrt{U_{4}}}}}$, ou $V_{4}=\sqrt{U_{1}+\sqrt{U_{2}+\sqrt{U_{3}}+\sqrt{U_{4}}}}$.
C'est juste pour avoir les idées claires pour continuer mon exercice afin de ne pas me tromper sur l'expression de $V_{n+1}$.
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Réponses
J’entends sans pointillé.
Le terme académique est « par récurrence ».
Ce serait plus facile si c'était
$$W_n =
\sqrt{U_n + \sqrt{U_{n-1}+\sqrt{U_{n-2}+\sqrt{\dots}}}},$$ mais ici...
Mea Culpa.
C'est intrigant cela dit : on ne peut donc pas définir proprement ce truc "simple" ?
Cela se programme bien, non ? (pas de papier crayon pour le moment, mon cerveau rame...)
Edit : cela dit, la question du fil est pertinente quant au thème "les pointillés sont ambigus".
$V_n=f_n(U_1,\dots,U_n)$.
On peut alors se débrouiller pour expliquer $V_{n-1}$ à l'aide de $f_n$, et il n'y a plus qu'à montrer que $f_n$ est une fonction croissante de chaque coordonnée.
Chaque terme ne se déduit pas des précédents, il faut tout recommencer pour chaque nouveau terme comme dit @alea.