Application du lemme de Césaro

Bonsoir, j'aimerais bien savoir si mon raisonnement est aussi correct.
Je me place dans le cas où $l$ est un réel.

Soit $\epsilon >0$.
Par hypothèse : $ \exists N \in \mathbb{N} ,~ \forall n \in \mathbb{N},~ (n\geq N \Longrightarrow |U_{n+1}-U_{n}|< \epsilon)$.
Soit $k \in \mathbb{N}$, tel que $k\geq N$,
alors on a $l-\epsilon<U_{k+1}-U_{k}<l+\epsilon$.
En sommant cette inégalité de $N$ à $n$, on a $(n-N+1)(l-\epsilon)<U_{n}-U_{N}<(n-N+1)(l+\epsilon)$.
En divisant de part et d'autre de l'inégalité par $n$, on a $\frac{U_{N}}{n}+\frac{(1-N)(l-\epsilon)}{n}<\frac{U_{n}}{n}-l<\frac{U_{N}}{n}+\frac{(1-N) (l+\epsilon)} {n}$.
D'après le théorème des gendarmes $\lim(\frac{U_{n}}{n})=l$.

Je sais qu'on peut poser que $V_{n}=U_{n+1}-U_{n}$ et appliquer directement le lemme de Césaro mais au départ en faisant des petits schémas je pensais à ce premier résultat.
Et s'il est juste peut-on procéder de la même manière pour le cas $l$ infini ?
Et s'il est faux pourquoi svp ? Ça me fera avancer dans ma compréhension.
Merci d'avance pour votre réponse.