Intérieur et bord d'un convexe
Réponses
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Bonsoir.
Je ne sais pas trop ce que tu appelles "bord". Si c'est la frontière, alors la première chose à voir est de savoir dans quel ensemble on se place et pour quelle topologie. On a aussi intérêt à examiner ce qui se passe pour n faible ( 1, 2, ou 3).
Bon travail !
NB : Évidemment, si après avoir travaillé le sujet, tu bloques, reviens en précisant ce que tu as fait et où ça coince. On t'aidera. -
Ici, pour moi "bord = frontière" .
Je me place dans $\mathbb{R}^n$, muni de la norme 1 par exemple ($ \Vert x\Vert = \sum_{i=1}^n \vert x_i \vert $ ).
En dimension 2, le bord est $\{ (1, 0)\} \cup \{(0,1)\}$.
Mais déjà en dimension 3 , je ne sais pas comment marche ! -
Il manque des valeurs absolues dans ta norme , sinon fais un dessin en dimension 2 ,tu y verras plus clair.
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Oui , évidemment il manquait des valeurs absolues ! Merci
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Je me permets de préciser ce que lale n'a pas osé dire : tu dois reconsidérer ta solution dans le cas $n=2$. Si ça peut t'aider, par exemple, la frontière d'une boule, c'est une sphère, pas juste deux points de la sphère, là c'est pareil, il n'y a pas que deux points sur cette frontière.
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Merci Titi ! Il y a une petite erreur dans mon énoncé. En fait $$
A= \big\{\ (x_1, x_2, \ldots , x_n)\in [0, 1]^n \mid \sum_{i=1}^{n} x_i = 1 \ \big\} .$$ -
Ah... C'est un autre problème alors.
Pourrais-tu donner les définitions de l'intérieur et de l'adhérence d'un ensemble contenu dans un espace topologique s'il te plait ?
La frontière c'est l'intersection de l'adhérence de $A$ et de l'adhérence de son complémentaire.
En ce qui concerne l'intérieur, vois-tu un ouvert contenu dans $A$? (à part l'ensemble vide)
Quel est la nature du complémentaire de $A$? Celle de $A$? (quand je dis nature ici c'est ouvert, fermé, les deux ou ni l'un ni l'autre ...). -
Le plus simple est alors de commencer par regarder l'intérieur de A :
En dimension 1, A est un singleton. Quels sont les intervalles ouverts contenus dans A ?
En dimension 2, A est ... . Quels sont les disques ouverts contenus dans A ?
Généralisation ?
Cordialement.
Pour AD : Ta correction du premier message a fait que je ne comprenais plus. C'était bien $\le$ ?
[Initialement, YEO avait écrit $\leq1$ et il l'a changé en $=1$ avant que je n'intervienne (pour des modifs de forme $\LaTeX$, pas pour changer les symboles). AD]
[OK, AD, désolé d'avoir cru que tu l'avais fait] -
ll s'agit de deux problèmes différents. Ici je m'intéresse plutôt au cas où
$$A= \big\{\ (x_1, x_2, \ldots , x_n)\in [0, 1]^n \mid \sum_{i=1}^{n} x_i = 1 \ \big\} .$$ -
Il est facile de voir que $A$ est d'intérieur vide : si $(x_1, \dots, x_n) \in A$, il existe un $x_i$ non nul, et alors pour tout $\varepsilon > 0, (x_1, x_2, \dots, x_i(1+\varepsilon), \dots, x_n) \not \in A$. Je te laisse voir pour la frontière, qui n'est pas plus compliquée à déterminer (surtout une fois qu'on sait que l'intérieur est vide...).
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YEO :
Ta correction du premier message a fait que je ne comprenais plus. C'était bien $\le$ ?
Si tu changes le problème, ceux qui ont répondu jusque là parlent d'autre chose, et la discussion devient incompréhensible. Rien ne t'empêche, par politesse, de laisser une trace de l'énoncé initial, en rajout&ant simplement que le bon problème est celui-ci.
Car sur ton problème actuel, sa facilité le rend quasi évident, et on aurait donné les pistes immédiatement. -
@gerard0: De ce que j'en sais le message initiale contenait $\leq$ (ou $\geq$, mais en tout cas c'était de l'inégalité et pas stricte) au moment où j'ai écrit mon premier message. La dernière modification où le signe $=$ est (ré?) apparu semble être contemporaine du message dans lequel il précise bien l'égalité.
@YEO: Comme tu le constates, de discrètes modifications en cours de route embrouillent les gens qui suivent le fil. Si tu fais une modification une fois que tu as reçu une première réponse, tu laisses ce qu'il y avait (à la limite en rayant) et tu écris un truc du genre "Edit: Pardon et merci pour les première réponses, mais j'ai initialement fait une erreur sur l'énoncé et je ne travaille en réalité pas sur cette chose, mais sur tel autre machin". -
Ok, désolé pour les désagréments causés. Toutes mes excuses !
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OK YEO.
Finalement, tu as ta réponse avec la justification ?
Cordialement. -
$$A= \big\{\ (x_1, x_2, \ldots , x_n)\in [0, 1]^n \mid \sum_{i=1}^{n} x_i = 1 \ \big\} .
$$ Je note $\partial A $ la frontière de $A,$ $ \overset{\circ}{A}$ son intérieur et $\overline{A}$ son adhérence.
Comme $ \partial A = \overline{A} \setminus \overset{\circ}{A}$ et que $ \overset{\circ}{A}=\varnothing$ , donc $ \partial A = \overline{A}=A$. -
Comment justifies-tu $\bar A =A$ ?
Ce serait par exemple faux si on remplaçait $[0, 1]^n$ par $[0, 1[^n$.
Cordialement. -
A est fermé , donc égal à son adhérence .
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Et pourquoi $A$ est-il fermé ?
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$A$ est fermé comme image réciproque du fermé ${1}$ de $\mathbb{R}$ par la fonction continue $f$ qui à $(x_1,\ldots,x_n)$ associe la somme des coordonnées.
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La question était adressée à YEO...
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Et cette réponse n'est pas correcte, pas assez précise : si la fonction est définie sur $\mathbb R^n$, la réciproque de {1} n'est pas A; donc il faut définir correctement $f$.
Cordialement.
NB : On aimerait bien une réponse de YEO.
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