Une grenouille sans mémoire
dans Analyse
Bonsoir,
je bloque sur cette exercice et je ne vois pas du tout comme procéder.
Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci d'avance pour votre réponse.
je bloque sur cette exercice et je ne vois pas du tout comme procéder.
Pouvez-vous m'aider svp ?
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Réponses
On joue à Pile ou Face, avec une pièce truquée, cette pièce a une probabilité p de donner Pile, et q de donner Face (avec p+q=1).
On note $X_n$ le nombre de Piles après n lancers. Donner la loi de $X_n$ ainsi que son espérance et sa variance.
Sais-tu faire cet exercice ? (un grand classique, qui doit avoir été posé sur ce forum au moins 1 ou 2 fois cette année)
L'exercice avec les grenouilles est juste une reformulation de l'exercice avec les pièces... il y aura juste 2 ou 3 précautions à prendre au moment de passer d'un exercice à l'autre.
Sinon, tu peux tester sur un exemple, c'est toujours utile en maths pour voir mieux. Dessines une droite. Une grenouille qui saute 3 fois à gauche ($G$) et 2 fois à droite ($D$), peut sauter dans ces ordres:
Part de $0$ et saute $GGGDD$, que vaut $X_n$ ?
Part de $0$ et saute $DDGGG$, que vaut $X_n$ ?
Part de $0$ et saute $DGDGG$, que vaut $X_n$ ?
Part de $0$ et saute $GGDGD$, que vaut $X_n$ ?
Si on remplace $G$ et $D$ par les opérations mathématiques correspondantes, comment tu réécris $GGGDD$, $DDGGG$, $DGDGG$ et $GGDGD$? Et op, c'est facile de trouver la loi de $X_n$ ;-)
Merci beaucoup :-)
As-tu compris l'analogie entre ton sujet et celui que propose lourrran ?
Contrairement à Totem je n'ai pas réussi à comprendre la remarque du prof (il y a un truc qui ressemble à une abréviation et le dernier mot m'échappe), mais si ça a un sens proche de ce que j'ai en tête, tu dois tenter de faire un truc un peu construit tout seul comme un grand.
"fct" pour fonctionnent ?
Quelle est la définition de la loi uniforme discrète ? De la loi uniforme continue ?
Soit $A$ ton expérience "grenouille saute une fois". Et $\Omega = \{ \omega_1 , \ldots \} $ est l'ensemble des réalisations. C'est-à-dire l'ensemble des résultats du saut. Questions.
1) Combien d’éventements élémentaires $\omega_i$ tu as ici ? Quelles sont les probabilités associées ?
2) Une variable aléatoire c'est grosso modo c'est le résultat numérique. Par exemple : soit une pièce, je la jette. Si pile je gagne 10 €, si face, 1€ (je suis généreuse).
Mon ensemble de réalisation $\Omega = \{ Pile , Face \}$. Ma variable aléatoire $X = \{10 , 1 \}$ est $x=10$ si pile et $x=1$ si face : \[
\mathbb{P}(X=x) = \left\{\begin{array}{ll}
0.5 &\mbox { si }x=10, \\
0.5 &\mbox { si }x=1,
\end{array}\right.
\] Pourrais-tu faire le même avec ton expérience ? Il te reste à trouve la loi qui corresponde et passer à l'étape suivante.
J'ai une pièce de monnaie. Cette pièce a une probabilité $p$ de donner Pile, et une probabilité $q$ de donner Face ( $p+q=1$ , évidemment)
Je lance cette pièce $n$ fois.
La probabilité d'avoir exactement $k$ fois Pile est donnée par la formule $ P = C(n,k) p^k q^{n-k} $
Si tu connaissais déjà cette formule, tu avais toutes les connaissances théoriques pour faire l'exercice.
Et si tu ne la connaissais pas, tu ne pouvais pas t'en sortir, à moins de redémontrer cette formule.
Toi, tu ne lances pas une pièce de monnaie qui tombe parfois sur Pile, parfois sur Face, mais tu observes une grenouille qui saute parfois à droite, parfois à gauche.
Est-ce que c'est fondamentalement différent ? Est-ce qu'il y a un chapitre du cours qui est dédié au tirage à Pile ou Face, et un autre chapitre du cours qui est dédié aux grenouilles qui sautent ?
@Shadows Asgard, non, tu n'as pas $n$ événements élémentaires, mais 2. La grenouille peut sauter soit à gauche, soit à droite : \[ \Omega =\{ G; D\}
\] Quel est la probabilité que la grenouille saute à gauche ? À droite ?
Avant de poursuivre, pourrais-tu faire ceci. Pourrais-tu me dire que vaut $X_n$ dans 1), 2), 3) et 4). Essaye maintenant de prendre 2 sauts à gauche et 4 sauts à droite. Prends quelques exemples comme j'ai fait et calcule $X_n$. Que remarques-tu?
Sinon, pour le reste : fait un tableau où tu vas répertorier toutes les lois vues en cours, avec les colonnes :
1) nom de la loi,
2) variable aléatoire : discrète ou continue,
3) support : quelles valeurs peut prendre v.a.?
4) paramètre(s) de la loi et les valeurs qu'ils peuvent prendre,
5) expression de sa fonction de masse/densité,
6) expression de la fonction de répartition,
7) notes : pour chaque loi regarder comment elle est utilisée, quels événements elle décrit en général.
Puis relis ce que nous avons écrit @lourrran et moi
La probabilité que la grenouille saute à gauche est q
et la probabilité qu'elle saute à droite est p.
1) Part de 0 et saute GGGDD, que vaut Xn ? => P(Xn) = q^3 x p^2
2) Part de 0 et saute DDGGG, que vaut Xn ? => P(Xn) = q^3 x p^2
3) Part de 0 et saute DGDGG, que vaut Xn ? => P(Xn) = q^3 x p^2
4 ) Part de 0 et saute GGDGD, que vaut Xn ? => P(Xn) = q^3 x p^2
On remarque que tous ces évènements on la même probabilité.
Oui c'est vrai qu'on remarque le modèle de la loi binomiale avec par exemple succès "la grenouille saute à droite".
Par contre je ne comprends pas l'écriture : "Xn=2Y-n " ?
Car si on dit que Y est "le nombre de sauts à droite", pourquoi multiplier le nombre de sauts par 2 et donc faire comme si la grenouille avait effectué 2n sauts alors qu'on ne veut que n sauts, tout ça pour enlever les n sauts en trop en faisant "-n" ?
Autant juste écrire Xn=Y ?
Mais dans ce cas dans tout ça où est passé l'information concernant les sauts effectué à gauche par la grenouille ?
C'est un casse-tête sans fin...
(ps: et je n'ai pas le droit d'utiliser les fonctions génératrices, c'est du hors-programme pour les prépas ECE).
Si la grenouille fait n sauts à droite alors X=n=2(n)-n
Si elle fait n-1 sauts à droite alors elle a aussi fait 1 saut à gauche et donc X=n-2=2(n-1)-n
Si elle fait n-2 sauts à droite alors elle a aussi fait 2 sauts à gauche et X=n-4=2(n-2)-n
.............................................
Si elle fait 0 saut à droite alors elle a fait n sauts à gauche et X=-n=2×(0)-n
- Au bout de $n$ sauts, quelle est la probabilité que la grenouille ait fait $k$ sauts à gauche ? .. besoin d'un peu de connaissances théoriques.
- Au bout de $n$ sauts, si la grenouille a fait $k$ sauts à gauche, elle se retrouve sur quelle case ? Besoin de rien pour répondre à cette question, juste un peu de bon sens.
Et on va constater au final que la parité de $n$ joue un rôle essentiel ! Si $n$ est impair, la grenouille peut-elle se trouver sur la case de départ ?
-1+1+1+1+1-1-1+1+1
$X_n$ vaut $3$.
Il y a néanmoins un souci: nous n'avons pas respecté l'hypothèse "on considère que les élèves fonctionnent de manière indépendante":-D