Une grenouille sans mémoire

Shadows Asgard · October 2019

Bonsoir,
je bloque sur cette exercice et je ne vois pas du tout comme procéder.
Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci d'avance pour votre réponse. 91022

lourrran · October 2019

Voici un autre exercice :
On joue à Pile ou Face, avec une pièce truquée, cette pièce a une probabilité p de donner Pile, et q de donner Face (avec p+q=1).
On note $X_n$ le nombre de Piles après n lancers. Donner la loi de $X_n$ ainsi que son espérance et sa variance.

Sais-tu faire cet exercice ? (un grand classique, qui doit avoir été posé sur ce forum au moins 1 ou 2 fois cette année)

L'exercice avec les grenouilles est juste une reformulation de l'exercice avec les pièces... il y aura juste 2 ou 3 précautions à prendre au moment de passer d'un exercice à l'autre.

totem · October 2019

J'aime bien la remarque du prof en haut . :-D

vorobichek · October 2019

Ta grenouille, qui saute, peut sauter soit à gauche, soit à droite. Du coup ton expérience aléatoire " grenouille saute" a combien de issues possibles si elle saute une fois? Soit $k$ le nombre de issus de ton expérience "grenouille saute". Connais tu une loi de probabilité qui ne peut admettre que $k$ issues? Une fois cette loi trouvée, tu peux trouver la loi de $X_n$.

Sinon, tu peux tester sur un exemple, c'est toujours utile en maths pour voir mieux. Dessines une droite. Une grenouille qui saute 3 fois à gauche ($G$) et 2 fois à droite ($D$), peut sauter dans ces ordres:
Part de $0$ et saute $GGGDD$, que vaut $X_n$ ?
Part de $0$ et saute $DDGGG$, que vaut $X_n$ ?
Part de $0$ et saute $DGDGG$, que vaut $X_n$ ?
Part de $0$ et saute $GGDGD$, que vaut $X_n$ ?
Si on remplace $G$ et $D$ par les opérations mathématiques correspondantes, comment tu réécris $GGGDD$, $DDGGG$, $DGDGG$ et $GGDGD$? Et op, c'est facile de trouver la loi de $X_n$ ;-)

Shadows Asgard · October 2019

D'accord, donc c'est la loi uniforme sur [|-n;n|].
Merci beaucoup :-)

Titi le curieux · October 2019

Raté! Essaye encore!
As-tu compris l'analogie entre ton sujet et celui que propose lourrran ?

Contrairement à Totem je n'ai pas réussi à comprendre la remarque du prof (il y a un truc qui ressemble à une abréviation et le dernier mot m'échappe), mais si ça a un sens proche de ce que j'ai en tête, tu dois tenter de faire un truc un peu construit tout seul comme un grand.

raoul.S · October 2019

@Titi le curieux Je dirais : "On considère que les élèves fct de manière indépendante".

"fct" pour fonctionnent ?

vorobichek · October 2019

@Shadows Asgard , faire des maths au pif ce n'est jamais bien. À coup sûr c'est faux. Et quand la réponse n'est pas fausse par pure coïncidence, elle est quand même fausse, parce que non justifiée.

Quelle est la définition de la loi uniforme discrète ? De la loi uniforme continue ?

Titi le curieux · October 2019

@raoul.S... Ah... Ok, merci beaucoup... Il n'a pas tort, j'en ai donc définitivement trop dit dans ce cas, je supprime donc certaines références de mon précédent message.

Shadows Asgard · October 2019

Ah mince alors je ne vois pas du tout ...

Shadows Asgard · October 2019

Vorobichek, oui je connais la définition de la loi uniforme mais je pensais que ça correspondait, mais en fait non car tous les nénuphars n'ont pas la même probabilité que la grenouille s'arrête dessus au bout des n sauts car par exemple les nénuphars extrêmes -n et n ont moins de chance d'être choisi.

Titi le curieux · October 2019

Relis le message de lourrran. Essaye de comprendre.

vorobichek · October 2019

@Shadows Asgard, je te propose de faire pas à pas.
Soit $A$ ton expérience "grenouille saute une fois". Et $\Omega = \{ \omega_1 , \ldots \} $ est l'ensemble des réalisations. C'est-à-dire l'ensemble des résultats du saut. Questions.
1) Combien d’éventements élémentaires $\omega_i$ tu as ici ? Quelles sont les probabilités associées ?
2) Une variable aléatoire c'est grosso modo c'est le résultat numérique. Par exemple : soit une pièce, je la jette. Si pile je gagne 10 €, si face, 1€ (je suis généreuse).
Mon ensemble de réalisation $\Omega = \{ Pile , Face \}$. Ma variable aléatoire $X = \{10 , 1 \}$ est $x=10$ si pile et $x=1$ si face : \[
\mathbb{P}(X=x) = \left\{\begin{array}{ll}
0.5 &\mbox { si }x=10, \\
0.5 &\mbox { si }x=1,
\end{array}\right.
\] Pourrais-tu faire le même avec ton expérience ? Il te reste à trouve la loi qui corresponde et passer à l'étape suivante.

Shadows Asgard · October 2019

.

side · October 2019

supp

lourrran · October 2019

Voici un indice (énorme indice)
J'ai une pièce de monnaie. Cette pièce a une probabilité $p$ de donner Pile, et une probabilité $q$ de donner Face ( $p+q=1$ , évidemment)
Je lance cette pièce $n$ fois.
La probabilité d'avoir exactement $k$ fois Pile est donnée par la formule $ P = C(n,k) p^k q^{n-k} $

Si tu connaissais déjà cette formule, tu avais toutes les connaissances théoriques pour faire l'exercice.
Et si tu ne la connaissais pas, tu ne pouvais pas t'en sortir, à moins de redémontrer cette formule.

Toi, tu ne lances pas une pièce de monnaie qui tombe parfois sur Pile, parfois sur Face, mais tu observes une grenouille qui saute parfois à droite, parfois à gauche.
Est-ce que c'est fondamentalement différent ? Est-ce qu'il y a un chapitre du cours qui est dédié au tirage à Pile ou Face, et un autre chapitre du cours qui est dédié aux grenouilles qui sautent ?

vorobichek · October 2019

@side, il me semble que c'est beaucoup plus simple.

@Shadows Asgard, non, tu n'as pas $n$ événements élémentaires, mais 2. La grenouille peut sauter soit à gauche, soit à droite : \[ \Omega =\{ G; D\}
\] Quel est la probabilité que la grenouille saute à gauche ? À droite ?

Avant de poursuivre, pourrais-tu faire ceci.

Sinon, tu peux tester sur un exemple, c'est toujours utile en maths pour voir mieux. Dessine une droite. Une grenouille qui saute 3 fois à gauche ($G$) et 2 fois à droite ($D$), peut sauter dans ces ordres :
1) Part de $0$ et saute $GGGDD$, que vaut $X_n$ ?
2) Part de $0$ et saute $DDGGG$, que vaut $X_n$ ?
3) Part de $0$ et saute $DGDGG$, que vaut $X_n$ ?
4 ) Part de $0$ et saute $GGDGD$, que vaut $X_n$ ?
Si on remplace $G$ et $D$ par les opérations mathématiques correspondantes, comment tu réécris $GGGDD$, $DDGGG$, $DGDGG$ et $GGDGD$ ? Et hop, c'est facile de trouver la loi de $X_n$ ;-)

Pourrais-tu me dire que vaut $X_n$ dans 1), 2), 3) et 4). Essaye maintenant de prendre 2 sauts à gauche et 4 sauts à droite. Prends quelques exemples comme j'ai fait et calcule $X_n$. Que remarques-tu?

Sinon, pour le reste : fait un tableau où tu vas répertorier toutes les lois vues en cours, avec les colonnes :
1) nom de la loi,
2) variable aléatoire : discrète ou continue,
3) support : quelles valeurs peut prendre v.a.?
4) paramètre(s) de la loi et les valeurs qu'ils peuvent prendre,
5) expression de sa fonction de masse/densité,
6) expression de la fonction de répartition,
7) notes : pour chaque loi regarder comment elle est utilisée, quels événements elle décrit en général.

Puis relis ce que nous avons écrit @lourrran et moi

biely · October 2019

Soit Y la v.a. égale au "nombre de sauts à droite" (par exemple), il est évident que Y suit la loi binomiale B(n;p) . De plus, on a X=2Y-n et "zou" non?

Shadows Asgard · October 2019

Bonjour, merci pour vos réponses, c'est vrai que cet exercice me trouble particulièrement car l'énoncé guide très peu, voire pas du tout ^^'
La probabilité que la grenouille saute à gauche est q
et la probabilité qu'elle saute à droite est p.

1) Part de 0 et saute GGGDD, que vaut Xn ? => P(Xn) = q^3 x p^2
2) Part de 0 et saute DDGGG, que vaut Xn ? => P(Xn) = q^3 x p^2
3) Part de 0 et saute DGDGG, que vaut Xn ? => P(Xn) = q^3 x p^2
4 ) Part de 0 et saute GGDGD, que vaut Xn ? => P(Xn) = q^3 x p^2

On remarque que tous ces évènements on la même probabilité.

Oui c'est vrai qu'on remarque le modèle de la loi binomiale avec par exemple succès "la grenouille saute à droite".

Par contre je ne comprends pas l'écriture : "Xn=2Y-n " ?
Car si on dit que Y est "le nombre de sauts à droite", pourquoi multiplier le nombre de sauts par 2 et donc faire comme si la grenouille avait effectué 2n sauts alors qu'on ne veut que n sauts, tout ça pour enlever les n sauts en trop en faisant "-n" ?
Autant juste écrire Xn=Y ?
Mais dans ce cas dans tout ça où est passé l'information concernant les sauts effectué à gauche par la grenouille ?
C'est un casse-tête sans fin...

(ps: et je n'ai pas le droit d'utiliser les fonctions génératrices, c'est du hors-programme pour les prépas ECE).

biely · October 2019

Exemples:
Si la grenouille fait n sauts à droite alors X=n=2(n)-n
Si elle fait n-1 sauts à droite alors elle a aussi fait 1 saut à gauche et donc X=n-2=2(n-1)-n
Si elle fait n-2 sauts à droite alors elle a aussi fait 2 sauts à gauche et X=n-4=2(n-2)-n
.............................................
Si elle fait 0 saut à droite alors elle a fait n sauts à gauche et X=-n=2×(0)-n

lourrran · October 2019

Et donc, L'exercice se décompose en 2 calculs :
- Au bout de $n$ sauts, quelle est la probabilité que la grenouille ait fait $k$ sauts à gauche ? .. besoin d'un peu de connaissances théoriques.
- Au bout de $n$ sauts, si la grenouille a fait $k$ sauts à gauche, elle se retrouve sur quelle case ? Besoin de rien pour répondre à cette question, juste un peu de bon sens.

Et on va constater au final que la parité de $n$ joue un rôle essentiel ! Si $n$ est impair, la grenouille peut-elle se trouver sur la case de départ ?

vorobichek · October 2019

@Shadows Asgard, attention, il faut bien lire l'énoncé. La variable aléatoire $X_n$ est le numéro de nénuphar après $n$ sauts. Et de toute façon v.a. n’est pas une probabilité. Si la grenouille fait 3 sauts : 1 à gauche et 2 à droite, elle atterrit sur 1. Soit saut D saut droit qui vaut +1 et G saut à gauche qui vaut -1, si la grenouille saute GDDDDGGDD :
-1+1+1+1+1-1-1+1+1
$X_n$ vaut $3$.

Shadows Asgard · October 2019

Merci :-)

biely · October 2019

Ne pas oublier que E(aX+b)=aE(X)+b et V(ax+b)=a^2×V(X)
Il y a néanmoins un souci: nous n'avons pas respecté l'hypothèse "on considère que les élèves fonctionnent de manière indépendante":-D