Courbes reliant les sommets d’un carré

@elodouwen Le problème est que le théorème que je cherche à démontrer est utilisé dans la démonstration du théorème de Jordan (pour le cas différentiable en tout cas). On ne peut donc pas utiliser le théorème de Jordan pour le démontrer.

Sinon je sais qu’il existe plusieurs démonstrations du théorème que je cherche à montrer (par Brouwer par exemple). La question que je posais dans cette discussion était celle de la démonstration par le lemme des petits carrés (et donc la preuve de ce lemme).

@Corto
J’ai réfléchi au lemme des carrés rouges et j’ai eu plusieurs idées (pas encore concluantes mais bon, au moins ce sont des idées). L’une d’elles est proche de ce que vous avez proposé et se ramène à un problème discret. Voici plus de détails.

Tout d’abord, notons que dans le lemme que vous proposez, l’intersection de $\Gamma_1$ et de $\Gamma_2$ ne contient pas nécessairement un carré. En effet, si l’on divise par exemple le carré $[0,1]^2$ en quatre carrés, si on prend pour $\Gamma_1$ le chemin de carrés composé du carré contenant $(0,0)$ et du carré contenant $(1,1)$, et si on prend pour $\Gamma_2$ le chemin de carrés composé des deux autres carrés, alors $\Gamma_1 \cap \Gamma_2$ est une réunion de deux segments (le segment joignant $(0,\frac{1}{2})$ à $(1,\frac{1}{2})$ et le segment joignant $(\frac{1}{2},0)$ à $(\frac{1}{2},1)$).

Je propose un lemme à montrer dans lequel l’intersection contiendra un carré, puis j’explique comment ce lemme se ramène à un problème discret.

Pour ne pas reprendre les termes « chemins de carrés », j’introduis le notion de « parcours de carrés ». Soient $a$ et $b$ deux points de $[0,1]^2$. J’appelle parcours de carrés de départ $a$ et d’arrivée $b$ toute suite finie $(C_1, C_2, ..., C_q)$ de petits carrés telle que $a \in C_1$, $b \in C_q$ et pour tout entier $k$ entre $1$ et $q-1$, $C_k$ et $C_{k+1}$ aient un bord en commun et $C_k \neq C_{k+1}$.

Je colorie en rouge les carrés traversés par $\gamma_2$ et en bleu ceux traversés par $\gamma_1$ (encore une fois, « traversé » signifie que la courbe et le carré ont au moins un point d’intersection, même si ce point était un sommet du carré où sur l’un de ses bords).

J’affirme qu’alors il existe un parcours de carrés $(C_1, C_2, ..., C_q)$ de départ $(0,1)$ et d’arrivée $(1,0)$ constitué uniquement de carrés rouges. Je ne rédige pas de preuve ici mais j’y ai réfléchi et je suis assez convaincu que ça se démontre. Si vous me le demandez j’exposerai mes idées là-dessus.
De même, il existe un parcours de carrés $(C’_1, C’_2, ..., C’_p)$ de départ $(0,0)$ et d’arrivée $(1,1)$ constitué uniquement de carrés bleus.

Sous ces hypothèses, le lemme à démontrer est qu’il existe un entier $\alpha$ entre $1$ et $q$ et un entier $\beta$ entre $1$ et $p$ tels que $C_\alpha = C’_\beta$. Autrement dit, l’un des carrés sera à la fois colorié en rouge et en bleu.

Voici comment ce problème se traduit de façon « discrète ». On considère, dans $\mathbb{Z}^2$, l’ensemble $[\![ 0, n -1 ]\!] ^2$. Cet ensemble représente le carré initial $[0,1]^2$. Chaque point représente le petit carré qui lui correspond. Par exemple, le point $(0,0)$ correspond au carré en bas à gauche et $(n-1, n-1)$ correspond au carré en haut à droite.

De la même façon que pour les parcours de carrés, je considère deux points $A$ et $B$ de $[\![ 0, n -1 ]\!] ^2$, et j’appelle parcours entier de départ $A$ et d’arrivée $B$ toute suite finie $(X_1, X_2, ..., X_q)$ de points de $[\![ 0, n -1 ]\!] ^2$ telle que $A=X_1$, $B=X_q$ et pour tout entier $k$ entre $1$ et $q-1$, il existe $\varepsilon_k \in \{ (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0) \}$ tel que $X_{k+1} = X_k + \varepsilon_k$. En d’autres termes, on relie $X_k$ à $X_{k+1}$ par un segment horizontal ou vertical de longueur $1$, tout en restant dans le carré $[\![ 0, n -1 ]\!] ^2$. Le fait que l’on relie $X_k$ à $X_{k+1}$ par un segment horizontal ou vertical vient du fait que dans le parcours de carrés correspondant, $C_k$ et $C_{k+1}$ ont un bord en commun. Un parcours entier de départ $A$ et d’arrivée $B$ se représente donc comme une suite finie de segments horizontaux et verticaux de longueur $1$, reliant des points de $[\![ 0, n -1 ]\!]^2$, partant de $A$ et arrivant en $B$.

On traduit le lemme ainsi: soient $X=(X_1, X_2, ..., X_q)$ un parcours entier de départ $(0, n-1)$ et d’arrivée $(n-1, 0)$ et $Y=(Y_1, Y_2, ..., Y_p)$ un parcours entier de départ $(0,0)$ et d’arrivée $(n-1,n-1)$. Alors il existe un entier $\alpha$ entre $1$ et $q$ et un entier $\beta$ entre $1$ et $p$ tels que $X_\alpha = Y_\beta$. En d’autres termes, les parcours entiers $X$ et $Y$ ont un point en commun.

Sous ces termes, le lemme semble en effet plus simple à démontrer. Je suis entrain d’y réfléchir, mais je ne vois pas trop comment l’attaquer. Est-ce un problème d’algèbre, de dénombrement, de théorie des graphes??

Voyez-vous comment faire ou sinon avez-vous des idées?