Problème de Cauchy bien posé ?
dans Analyse
Svp, quelles sont les méthodes utilisées pour montrer que le système de [large]C[/large]auchy, est bien posé ?
$X{'} = X + F $ avec $F$ est seulement une fonction $L^{1}$.
[Augustin Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
$X{'} = X + F $ avec $F$ est seulement une fonction $L^{1}$.
[Augustin Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il me semble que oui. Toutes les conditions sont remplies, à savoir :
- $ (t,x) \in \mathbb{R}_{+}^* \times ] 0 , 1 [ $ est un domaine ouvert.
- $ \ \alpha \delta_{t_{1}} $ avec : $ \alpha \in \mathbb{R} $ est une distribution à support compact, donc c'est une distribution tempérée.
- $ A $ est constant, donc, ne dépend pas de $ t $.
- $ z(0) = z_{t=0} = z_0 $. ( $ z_0 $ peut au plus être une distribution à support compact si on voudrait suivre les consignes du document pdf de Fréderic Golse dont je t'ai parlé l'autre jour ).
Remarque : Je t'ai envoyé tout à l'heure un message par MP. Est ce que tu l'as reçu ?
Cordialement.
Edit : Pourquoi tu as modifié ton message Walid ? Est ce que tu peux réinstaurer ton message d'avant la modification pour que ce fil ne soit pas parti pas en vrille ? ;-)
oui je l'ai reçu, désolé au début je n'ai pas fait attention, SVP, y a un truc qui me gène, normalement je dois trouver la forme exacte de la solution, la chose que je n'arrive pas à faire, pour le truc que vous m'avez dit, je le confirme c'est vrai, j'ai lu le chapitre que vous m'avez cité.
Donc le problème est bien posé,
Mais est-ce qu'on ne peut pas avoir la solution exacte ?
[Inutile de recopier le dernier message. AD]
Je te reconduis une nouvelle fois au cours de Frederic Golse :
Tu regardes à partir de la page : $ 252 $ jusqu'à la fin du chapitre. On fournit à cet effet la forme exacte de la solution grâce à la méthode des solutions élémentaires.
j'ai déja vu ce chapitre que vous m'avez cité, ce qu'il fait:
il applique la transformation de [large]F[/large]ourier au système, donc à la place de $f$ il obtient $F(f)$ est puisque le $f$ est $L^{1}$ alors $F(f)$ devient une fonction continue donc on peut définir la solution classique en utilisant la méthode la variation de la constante, après il applique la transformation de [large]F[/large]ourier inverse pour récupérer le $f$, et ça donne vraiment une forme bizarre, la chose que je ne veux pas.
Dans mon cas la solution est vraiment plus facile que ça. \begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\partial}{\partial_{t}}z =Az+ \alpha \delta_{t_{1}}, \quad x \in (0,1),\ t>0\\
z(0) = z_{0} . \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
[Joseph Fourier (1768-1830) prend toujours une majuscule. AD]
\left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\partial}{\partial_{t}}z =Az+ f(t,x)\\
z(0) = z_{0} . \\
\end{array}
\right.
$$ Il applique la transformation de Fourier au problème de Cauchy, donc à la place de $f$ il obtient $F(f)$ est puisque notre $f$ est $L^{1},$ alors $F(f)$ devient une fonction continue par conséquent on peut définir la solution classique on utilisant la méthode la variation de la constante, après il applique la transformation de Fourier inverse pour récupérer le $f$ qui est la solution au sens des distribution, ce qui montre que notre problème est bien posé, mais, vraiment il nous donne une forme bizarre pour la solution, la chose que je veux pas, puisque dans mon cas la solution ça doit être plus facile que ça. $$
\left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\partial}{\partial_{t}}z =Az+ \alpha \delta_{t_{1}}, \quad x \in (0,1),\ t>0\\
z(0) = z_{0} . \\
\end{array}
\right.
$$ $A$ est le générateur infinitésimale d'un groupe $T(t)$, et $\alpha \in R$ et $\delta_{t_{1}}(t) = 1 $ si $t = t_{1}$ et $0$ sinon.
vous pouvez définir la solution de n'importe quel sens (mild solution, or strong, or classique...)!!
(Pablo?)
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
La méthode des solutions élémentaires est la seule que je connais et qui correspond à mon niveau modeste de connaissance.
Pour t'habituer au calcul de transformée inverse de Fourier, je t'invite à rendre visite à ce lien : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1458632
Z(t)=
\left\{
\begin{array}{lll}
z_{0} \exp(tA) \quad t \in [0,t_{1}) \\
z_{0} \exp(tA) + \exp((t-t_{1})A) \alpha t \in [t_{1},\inf) \\
\end{array}
\right.
$$ La solution doit ressembler à ça !!
S'il le vérifie, et en tenant compte de l'unicité des solutions d'un problème de Cauchy, alors, $ Z(t) $ est la solution effective de ton problème de Cauchy.
La solution ressemble légèrement à ce qui est dans ton autre fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1873810 .
A toi de bricoler un peu jusqu'à ce que tu réussis à l'ajuster à la vrai solution.
je vais vérifier, merci infiniment, je vous répondrai après !!