Équivalent d'une suite récurrente
J'ouvre un sujet pour ceux que ça intéresse, pour trouver un équivalent de $u_n$ pour la suite $u_{n+1}=\sin(2u_n)$.
On pose en effet $v_n=c-u_n$ avec $c$ limite de la suite dans $[0;\pi/2]$
Donc $\lim v_n = 0$
Donc $v_{n+1}=c-u_{n+1} =c -\sin(2u_n)=c-\sin(2(c-v_n))=c-2\sin(c-v_n)\cos(c-v_n)$
Après je bloque, il faut arranger tout ça et partir en direction de Cesàro ... ?
On pose en effet $v_n=c-u_n$ avec $c$ limite de la suite dans $[0;\pi/2]$
Donc $\lim v_n = 0$
Donc $v_{n+1}=c-u_{n+1} =c -\sin(2u_n)=c-\sin(2(c-v_n))=c-2\sin(c-v_n)\cos(c-v_n)$
Après je bloque, il faut arranger tout ça et partir en direction de Cesàro ... ?
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Réponses
Dans le même style, trouver un équivalent de $u_n$ avec $u_{n+1}=\frac{1+u_n^2}{2}$ et $u_0=0$.Solution : $u_n \sim1-\frac{2}{n}$
@totem : si $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} 1 - \frac{2}{n}$ alors $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} 1 + 67e^{-\pi n!}$. Tu cherches plutôt à dire que $u_n = 1 - \frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$.
et là ...Cesaro . C'est parce que la dérivée au point fixe vaut 1,et que la fonction a une dérivée suivante non nulle
mais dans le cas de la suite avec$ | f'c) | \not= 1$ on peut écrire $ v_{n+1}=f'(c) v_n +f"(c) v_n^2 /2 +o(v_n^2)$
et comparer $v_n$ à une suite géométrique
Iale: .Cesaro . "C'est parce que la dérivée au point fixe vaut 1,et que la fonction a une dérivée suivante non nulle"
tu veux dire dérivée seconde ?
@totem : ici, tu écris que « la solution est $u_n\sim1-\frac2n$. » Il n'est pas faux que $u_n\sim1-\frac2n$ mais ce n'est pas la solution. Tu aurais en effet pu aussi bien écrire que $u_n\sim1+\frac{\cos n}{\sqrt n+1}$, ces deux assertions sont équivalentes.
Ce qu'il faut retenir, c'est qu'on ne peut pas cacher un terme d'erreur du deuxième ordre derrière un équivalent. Les assertions $u_n\sim1-\frac2n$ et $u_n-1+\frac2n=o\bigl(\frac1n\bigr)$ ne sont absolument pas synonymes – la deuxième est beaucoup plus précise que la première.
Cordialement.
Et du coup comment trouver un DA de $u_n$ ici ? Iale dit qu'il faut comparer $v_n$ à unesuite géométrique, mais je ne vois pas trop comment faire ici avec le sinus...
Les deux suites de ce fil sont très différentes :
@Iale : $\sin(2(x-c))\ = 2(x-c) - \frac{8}{6}(x-c)^3 +o(x-c)^3$ quand x tend vers $c$ ?
Mais après avec $u_n$ je ne vois vraiment pas comment faire...
En plus on est en train de rejoindre l'autre fil "Etude d'une suite " là .
Je m'en vais potasser le corrigé...
J'ai une autre question : j'ai un exercice corrigé : "on considère la suite récurrente définie par $u_{n+1}=\sqrt{u_n},\ u_0=\frac{1}{3}.$ Il est clair que l'on a $u_n=\frac{1}{3^{\frac{1}{2^n}}}$"
Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi c'est clair ? :-S Je vois bien d'où vient le $1/3$, mais comment montrer le reste ?
Bon je retourne à Héron (petit patapon) !