Équivalent d'une suite récurrente
J'ouvre un sujet pour ceux que ça intéresse, pour trouver un équivalent de $u_n$ pour la suite $u_{n+1}=\sin(2u_n)$.
On pose en effet $v_n=c-u_n$ avec $c$ limite de la suite dans $[0;\pi/2]$
Donc $\lim v_n = 0$
Donc $v_{n+1}=c-u_{n+1} =c -\sin(2u_n)=c-\sin(2(c-v_n))=c-2\sin(c-v_n)\cos(c-v_n)$
Après je bloque, il faut arranger tout ça et partir en direction de Cesàro ... ?
On pose en effet $v_n=c-u_n$ avec $c$ limite de la suite dans $[0;\pi/2]$
Donc $\lim v_n = 0$
Donc $v_{n+1}=c-u_{n+1} =c -\sin(2u_n)=c-\sin(2(c-v_n))=c-2\sin(c-v_n)\cos(c-v_n)$
Après je bloque, il faut arranger tout ça et partir en direction de Cesàro ... ?
Réponses
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Tu as la limite (non nulle, et quand bien même elle serait nulle) de $u_n$ et tu cherches un équivalent?
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Ben oui :-D
Dans le même style, trouver un équivalent de $u_n$ avec $u_{n+1}=\frac{1+u_n^2}{2}$ et $u_0=0$.Solution : $u_n \sim1-\frac{2}{n}$ -
Si $v_n= u_n-1$ alors $ v_{n+1}= v_n+v_n^2/2$ d'où $\frac {1}{v_{n+1} }- \frac{1} {v_n} = -\frac{1}{2 }+o(v_n)$
et là ...Cesaro . C'est parce que la dérivée au point fixe vaut 1,et que la fonction a une dérivée suivante non nulle
mais dans le cas de la suite avec$ | f'c) | \not= 1$ on peut écrire $ v_{n+1}=f'(c) v_n +f"(c) v_n^2 /2 +o(v_n^2)$
et comparer $v_n$ à une suite géométrique -
Pas forcément ,si $v_{n+1}= v_n+ \alpha v_n^\beta +o(v_n^\beta )$ avec $\alpha \not=0$ on cherche k tel que $\frac{1}{v_{n+1}^k}-\frac{1 }{v_n^k}$ tende vers une limite non nulle. et alors césaro
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Quelques références pour les suites récurrentes. La vitesse de convergence dans le cas d'un point fixe attractif ou super-attractif est traitée dans le sujet du CAPES 1998 (corrigé).
@totem : ici, tu écris que « la solution est $u_n\sim1-\frac2n$. » Il n'est pas faux que $u_n\sim1-\frac2n$ mais ce n'est pas la solution. Tu aurais en effet pu aussi bien écrire que $u_n\sim1+\frac{\cos n}{\sqrt n+1}$, ces deux assertions sont équivalentes.
Ce qu'il faut retenir, c'est qu'on ne peut pas cacher un terme d'erreur du deuxième ordre derrière un équivalent. Les assertions $u_n\sim1-\frac2n$ et $u_n-1+\frac2n=o\bigl(\frac1n\bigr)$ ne sont absolument pas synonymes – la deuxième est beaucoup plus précise que la première. -
Un peu moins fort : $u_n - 1 \sim \frac 2 n$
Cordialement. -
À la question « trouver un équivalent », je réponds $ u_n \sim c$, avec tes notations.
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Ah oui. Pas très intéresant en fait. Le développement asymptotique est en effet beaucoup plus adapté ici.
Et du coup comment trouver un DA de $u_n$ ici ? Iale dit qu'il faut comparer $v_n$ à unesuite géométrique, mais je ne vois pas trop comment faire ici avec le sinus... -
Considère un développement limité (formule de Taylor) de $f(x)$ au voisinage du point fixe.
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Cet exercice est fort bien fait dans Polya et Szego.
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Mea culpa : je n'avais pas tout lu, en particulier le message de Poirot qui a déjà dit ce que j'ai redit.
Les deux suites de ce fil sont très différentes :- pour la première, qui apparaît dans un fil voisin, le point fixe $c$ est attractif, ce qui donne un équivalent de $u_n-c$ de la forme $df'(c)^n$ pour $d$ convenable ; référence ;
- pour la deuxième, le point fixe $1$ n'est pas attractif car $f'(1)=1$ et on a un équivalent de $u_n-1$ de la forme $K/n$ : l'astuce donnée par lale est incompréhensible mais classique.
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Clique sur ce lien ! (C'est la troisième et dernière fois que je le mets dans ce fil, promis.)
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Oui je suis en train de lire l'énoncé, mais je m'y perds un peu...attendez !
En plus on est en train de rejoindre l'autre fil "Etude d'une suite " là . -
J'ai bien regardé le lien, mais je ne sais pas par où commencer ?:-S ou continuer devrais-je dire.
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Ben, c'est la partie II.
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Ah oui cette partie est difficile !
Je m'en vais potasser le corrigé... -
Bon je laisse fermenter le corrigé dans ma tête pour l'instant.
J'ai une autre question : j'ai un exercice corrigé : "on considère la suite récurrente définie par $u_{n+1}=\sqrt{u_n},\ u_0=\frac{1}{3}.$ Il est clair que l'on a $u_n=\frac{1}{3^{\frac{1}{2^n}}}$"
Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi c'est clair ? :-S Je vois bien d'où vient le $1/3$, mais comment montrer le reste ? -
$u_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/2} = \frac{1}{3^{1/2}}, u_2 = \left(\frac{1}{3^{1/2}}\right)^{1/2} = \frac{1}{3^{1/4}}$, etc.
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Pff...je suis fatigué...:-(
Bon je retourne à Héron (petit patapon) !
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