Intégrale de Riemann.
dans Analyse
Bonjour
Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ une fonction continue tel que : $ \int_{a}^{b} |f(t)| dt < + \infty $ pour tous $ a,b \in \mathbb{R} $.
Pourquoi : $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \sum_{i = 0}^n f( \xi_{n} ) ( x_{i+1} - x_i ) = F(b) - F(a) $ avec : $ F $ une primitive de $ f $ et $ a = x_0 < x_1 < \dots , x_{n-1} < x_n = b $ une subdivision de l'intervalle $ [a,b] $ ?
Je n'arrive pas à mettre le lien entre entre : $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \sum_{i = 0}^n $ et $ F $.
Merci d'avance pour vos retours.
Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ une fonction continue tel que : $ \int_{a}^{b} |f(t)| dt < + \infty $ pour tous $ a,b \in \mathbb{R} $.
Pourquoi : $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \sum_{i = 0}^n f( \xi_{n} ) ( x_{i+1} - x_i ) = F(b) - F(a) $ avec : $ F $ une primitive de $ f $ et $ a = x_0 < x_1 < \dots , x_{n-1} < x_n = b $ une subdivision de l'intervalle $ [a,b] $ ?
Je n'arrive pas à mettre le lien entre entre : $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \sum_{i = 0}^n $ et $ F $.
Merci d'avance pour vos retours.
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Réponses
Sinon, d'après le théorème (égalité) des accroissements finis, $\big[F(x_{i+1}) - F(x_i)\big]$ doit ressembler à ton terme général, mais avec un autre $\xi_i'$.
Enfin constante ou pas, être continue ça veut justement dire "être localement presque constante".
Par contre, comme il y a plein de termes qui viennent de partout dans le segment, il va aussi falloir de l'uniformité.
Voici ce que j'ai fait :
Soit $ \epsilon > 0 $ :
Montrons qu'il existe $ n_0 \geq 0 $ tel que pour tout $ n \geq 0 $ :
$ n \geq n_0 \ \ \Longrightarrow \ \ \big| \displaystyle \sum_{i=0}^{n} f ( \xi_{i} ) ( x_{i+1} - x_{i} ) - ( F(b) - F(a) ) \big| = \big| \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \big( f ( \xi_{i} ) - \big( \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big) \big) ( x_{i+1} - x_{i} ) \big| < \epsilon $
On a,
$ \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \big| f ( \xi_{i} ) - \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big|. \big| x_{i+1} - x_{i} \big| < \epsilon \ \ \Longrightarrow \ \ \big| \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \big( f ( \xi_{i} ) - \big( \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big) \big) ( x_{i+1} - x_{i} ) \big| < \epsilon $
D'autre part, $ \displaystyle \lim_{x_{i+1} \to x_{i}} \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} = f( \xi_{i} ) $. Non ? ( C'est ça l'idée, puisque $ f $ est la dérivée de $ F $ ).
Alors, pour : $ \epsilon_i =1 > 0 $ par exemple, $ \ \ \exists \eta_i > 0 \ \ \forall x_{i+1} , x_{i} \in [a,b] \ $ : $ \ |x_{i+1} - x_{i} | < \eta_i \ \ \Longrightarrow \ \ \big| f ( \xi_{i} ) - \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big| < 1 $
On a, pour tout $ i= 0 , 1 , \dots , n $ :
$ \big( \big| f ( \xi_{i} ) - \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big|.< 1 \ \ \mathrm{et} \ \ \big| x_{i+1} - x_{i} \big| < \dfrac{1}{n^{2}} \big) $
$ \ \ \Longrightarrow \ \ \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \big| f ( \xi_{i} ) - \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big|. \big| x_{i+1} - x_{i} \big| < \sum_i \eta_i < n \dfrac{1}{n^{2}} = \dfrac{1}{n} < \epsilon $ pour tout $ i=0 , \dots , n $.
D'où, pour tout $ i= 0 , 1 , \dots , n $ :
$ \big( \ |x_{i+1} - x_{i} | < \eta_i \ \ \mathrm{et} \ \ \big| x_{i+1} - x_{i} \big| < \dfrac{1}{n^{2}} \big) $
$ \ \ \Longrightarrow \ \ \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \big| f ( \xi_{i} ) - \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big|. \big| x_{i+1} - x_{i} \big| < \dfrac{1}{n} < \epsilon $
D'où,
$ \big( \ \max_i |x_{i+1} - x_{i} | < \min_i \big( E( \eta_i ) + 1 , \dfrac{1}{n^{2}} \big) \big) $
$ \ \ \Longrightarrow \ \ \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \big| f ( \xi_{i} ) - \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big|. \big| x_{i+1} - x_{i} \big| < \dfrac{1}{n} < \epsilon $
D'où,
$ \big( \ n > \dfrac{1}{ \epsilon } \ \ \mathrm{et} \ \ \max_i |x_{i+1} - x_{i} | < \min_i \big( E( \eta_i ) + 1 , \dfrac{1}{n^{2}} \big) \big) $
$ \ \ \Longrightarrow \ \ \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \big| f ( \xi_{i} ) - \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big|. \big| x_{i+1} - x_{i} \big| < \epsilon $
D'où,
$ \big( \ n \geq E( \dfrac{1}{ \epsilon } ) + 1 \ \ \mathrm{et} \ \ \max_i |x_{i+1} - x_{i} | < \min_i \big( E( \eta_i ) + 1 , \epsilon^2 \big) \big) $
$ \ \ \Longrightarrow \ \ \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \big| f ( \xi_{i} ) - \dfrac{F(x_{i+1}) - F(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}} \big|. \big| x_{i+1} - x_{i} \big| < \epsilon $
Voilà. le clavier me fatigue. Voici donc, où j'arrive. Je ne sais pas terminer. Il me faut débarrasser de $ \max_i |x_{i+1} - x_{i} | < \min_i \big( E( \eta_i ) + 1 , \epsilon^2 \big) $, mais je ne sais pas comment. :-)
Edit : Croisement avec le message de @marsup. ;-)
$
\sum f(\xi_i) \cdot (
x_{i+1}-
x_{i})
=
F(b)-F(a) +
\sum \big[f(\xi_i)-f(\xi'_i)\big] \cdot (
x_{i+1}-
x_{i})
$.
Or si la subdivision est assez petite, alors : $
|
\xi_i
-
\xi'_i
| \le
|
x_{i+1}-
x_{i})
|\le \delta$,
donc : $|f(\xi_i)-f(\xi'_i)| \le \epsilon$ (uniforme continuité.)
Ainsi : $
\Big|
\sum \big[f(\xi_i)-f(\xi'_i)\big] \cdot (
x_{i+1}-
x_{i})
\Big|
\le
\sum \big|f(\xi_i)-f(\xi'_i)\big| \cdot (
x_{i+1}-
x_{i})
\le
\sum \epsilon \cdot (
x_{i+1}-
x_{i})
= \epsilon \cdot (b-a)$.
De plus la sommation fait intervenir un $x_{n+1}$ qui n'a pas été défini.
Enfin la base de filtre pour passer à la limite n'est pas définie.
Ceci dit, si $\varepsilon>0$ est donné on définit (continuité uniforme) $\eta>0$ tel que $\forall(u,v)\in[a,b]^2,\;-u-v|<\eta\implies|f(u)-f(v)<\varepsilon$
En prenant une subdivision vérifiant $\max(x_{i+1}-x_i)<\eta,\;0\leq i<n$ et $\xi_i\in[x_i,x_{i+1}],\;0\leq i<n$
on a
$$F(b)-F(a)-\sum_{0\leq i<n}(x_{i+1}-x_i)f(\xi_i)=\sum_{0\leq i<n}(x_{i+1}-x_i)\bigl(F(x_{i+1}-F(x_i)-(x_{i+1}-x_i)f(\xi_i)\bigl)$$
Si $g_i : t\mapsto F(t)-tf(\xi_i)$ on a $g$ dérivable et $g'(t)=f(t)-f(\xi_i)$.
Par inégalité des accroissements finis (ainsi la démonstration reste valable pour les fonctions à valeurs dans un Banach) on obtient
$$0\leq i<n \implies|F(x_{i+1})-F(x_i)-(x_{i+1}-x_i)f(\xi_i)|<\varepsilon(x_{i+1}-x_i)$$ et on a le résultat.
Ce qui est demandé de faire, est d'établir la proposition :
$ \forall \epsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N} $ :
$$ n \geq n_0 \ \ \Longrightarrow \ \ \big| \displaystyle \sum_{i=0}^{n} f ( \xi_{i} ) ( x_{i+1} - x_{i} ) - ( F(b) - F(a) ) \big| < \epsilon $$
Non pas :
Pour $ 0 \leq i \leq n $ :
$$ |x_{i+1} - x_i | < \eta \ \ \Longrightarrow \ \ \big| \displaystyle \sum_{i=0}^{n} f ( \xi_{i} ) ( x_{i+1} - x_{i} ) - ( F(b) - F(a) ) \big| < \epsilon $$
Comment passer alors à $ n \geq n_0 $ au lieu de : $ |x_{i+1} - x_i | < \eta_i $ ?
Merci d'avance.
Oui, c'est un lapsus, vu que je ne me suis pas penché sur les bases de la théorie de Riemann depuis des années.
Toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
...................................
Tu ne donnes pas correctement la définition de ta subdivision !
Il est probable que la condition $n>n_0$ implique que le maximum des $x_{i+1}-x_i$ est inférieur à $\eta$, sinon ton énoncé est sans intérêt.
C'est pour cela que je dis que tu n'as pas précisé sur quelle base de filtre tu espères passer à la limite pour les sommes de Riemann : ces sommes, sans autre précision, ne sont pas fonction de $n$ mais d'une subdivision (c'est plutôt $n$ qui est fonction de la subdivision) et de son pointage (que tu as aussi oublié de définir) pour pouvoir parler des $\xi_i$.