f -> 0 et f décroissante => f' bornée ?

MatisseR · October 2019

Bonjour à tous
Au cours d'un exercice, je dois montrer que f(x)×f'(x) converge quand x tend vers plus l'infini.
Je sais que f tend vers 0 en plus l'infini et que f est décroissante.
Si j'arrive à montrer que f' est borné à partir d'un x₀, c'est gagné mais je sèche un peu.
Avez-vous des pistes à me donner ou peut-être un contre-exemple ?
Merci d'avance.
Cordialement.

Tryss · October 2019

Que penses tu de $f(x) = \frac{\sin(x^n)}{x}$ ?

raoul.S · October 2019

@MatisseR à mon avis tes hypothèses ne suffisent pas à montrer la convergence de $ff'$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Il se peut très bien que $f'$ soit non bornée.

Donner explicitement un contre-exemple est assez pénible je crois, à moins que quelqu'un en connaisse un classique, mais on peut s'en convaincre en faisant un dessin. Il faut s'imaginer $f$ positive décroissante mais en "marche d'escaliers" avec la hauteur de chaque marche qui est de plus en plus petite (afin de ne pas tomber en dessous de $0$) mais avec une pente (de la marche) de plus en plus grande. Je ne sais pas si je rends l'idée...

@Tryss il faut que $f$ soit décroissante.

MatisseR · October 2019

Merci à tous les deux,
Effectivement on imagine assez bien un contre exemple avec des marches d'escaliers.
J'ai aussi comme hypothèse que f² est intégrable sur 0 plus l'infini mais ça m'étonnerait que ce soit utile.
Bonne journée !

gerard0 · October 2019

Ah, en considérant comme inutiles les hypothèses dont on ne voit pas comment se servir, on avance ... à reculons !

Cordialement.

f -> 0 et f décroissante => f' bornée ?

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