Série alternée?
dans Analyse
Bonjour
En notant E() la partie entière
Je cherche la nature de la série de terme général pour n>=0 :
Un = (-1)^(E(ln(n))) /n
J’ai l’impression qu’on pourrait avoir une sorte d’alternance mais à la fois on ne sait pas comment se comporte la partie entière de ln(n)..
J’aimerai bien transformer l’expression comme on le ferait si à la place du (-1) on avait un terme strictement positif mais là ça me paraît louche...
Tout indice est bienvenu
Merci
En notant E() la partie entière
Je cherche la nature de la série de terme général pour n>=0 :
Un = (-1)^(E(ln(n))) /n
J’ai l’impression qu’on pourrait avoir une sorte d’alternance mais à la fois on ne sait pas comment se comporte la partie entière de ln(n)..
J’aimerai bien transformer l’expression comme on le ferait si à la place du (-1) on avait un terme strictement positif mais là ça me paraît louche...
Tout indice est bienvenu
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si une série alternée, c'est une série qui est alternativement croissante/décroissante (changement de variation à chaque valeur de n), alors non, cette série n'est pas alternée.
Si une série alternée, c'est une série dans laquelle on peut identifier une infinité de portions croissantes, et une infinité de portions décroissantes, alors oui, cette série est une série alternée.
J'ai bien peur que la bonne définition soit la 1ère.
Qu'est ce que tu sais faire avec les séries ?
Des regroupements de termes ?
Des transformations d'Abel ?
Rien de tout ça ? (on peut faire directement à partir de la définition.)
Ma question est la suivante : (essayons de regrouper ensemble les termes consécutifs de même signe.)
Pour $p \in \N$, environ combien de fois d'affilée a-t-on $E[\ln(n)] = p$ (combien de $n$ vérifient ceci ?)
Pour ces valeurs de $n$, quel encadrement proposer pour $\frac{1}{n}$ ?
@lourran, une série alternée est une série du type $\sum (-1)^n a_n$ où $a_n$ décroît vers 0 (donc $a_n$ est positif et la série converge).
Edit : cf. le message de Gérard
Exemple pour une suite $w$: $w_7=10$, est-ce que les variations ont « changé »?
Soyons de bonne foi: $w_7=10$ et $w_8=12$, est-ce que les variations ont « changé »?
Il n'est pas nécessaire que $a_n$ tende vers 0 pour parler de série alternée. la série $\sum (-n)^n$ est alternée; La série $\sum \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$ aussi.
Ne pas confondre avec le théorème appelé souvent "critère spécial des séries alternées".
Cordialement.
[Était-ce cette série à laquelle tu pensais ? AD]
[Merci, Alain, mais c'était simplement celle-ci. Cordialement]
Je ne vois pas trop comment utiliser un regroupement de terme en général mais dans ce cas cela revient à mettre les termes positifs d’un côté et les négatifs de l’autre et montrer que chacune des deux parties des termes tendent vers la même chose?
Et pour la transformation d’Abel je n’y avait pas pensé je vais essayer
Pour moi une série alterné c’est une série de termes Un tels que Un*(-1)^n>=0 par exemple
Par exemple ça pourrait se résumer à voir qu’entre deux changements de signes la série devient énorme en valeur absolue et donc le converge pas?
pour n compris entre 3 et 7 (bornes comprises) tu as 5 chiffres dont la partie entière du logarithme népérien est 1
(donc les termes correspondants de la séries sont négatifs)
pour n compris entre 22017 et 59874 (bornes comprises) tu as 37847 nombres dont la partie entière du logarithme népérien est 10
(donc les termes correspondants de la série sont positifs)
l'alternance de signe des termes est de plus en plus rare mais cette alternance de signe est certaine
cela suffit à dire que la série est convergente
cordialement
Mais elle diverge de "pas grand chose".
Tu peux regarder $u_n = S_{N}$ pour $N = \lfloor e^{n} \rfloor$.
Ainsi $u_{n+1}-u_n$ est une somme de termes tous de même signe.
On regarde $|u_{n+1}-u_n|$ et on reconnaît astucieusement une somme de Riemann qui tend vers 1. (on voit facilement, en tout cas, que cette valeur absolue est minorée.)