Série alternée?

Etienne l’autre
Etienne l’autre
dans Analyse
Bonjour
En notant E() la partie entière
Je cherche la nature de la série de terme général pour n>=0 :
Un = (-1)^(E(ln(n))) /n
J’ai l’impression qu’on pourrait avoir une sorte d’alternance mais à la fois on ne sait pas comment se comporte la partie entière de ln(n)..
J’aimerai bien transformer l’expression comme on le ferait si à la place du (-1) on avait un terme strictement positif mais là ça me paraît louche...
Tout indice est bienvenu
Merci

Réponses

  • lourrran
    lourrran
    C'est quoi une série alternée ? (je ne sais pas).
    Si une série alternée, c'est une série qui est alternativement croissante/décroissante (changement de variation à chaque valeur de n), alors non, cette série n'est pas alternée.
    Si une série alternée, c'est une série dans laquelle on peut identifier une infinité de portions croissantes, et une infinité de portions décroissantes, alors oui, cette série est une série alternée.

    J'ai bien peur que la bonne définition soit la 1ère.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • marsup
    marsup
    C'est une série pas évidente, faite exprès pour fabriquer un exo !

    Qu'est ce que tu sais faire avec les séries ?

    Des regroupements de termes ?
    Des transformations d'Abel ?
    Rien de tout ça ? (on peut faire directement à partir de la définition.)

    Ma question est la suivante : (essayons de regrouper ensemble les termes consécutifs de même signe.)

    Pour $p \in \N$, environ combien de fois d'affilée a-t-on $E[\ln(n)] = p$ (combien de $n$ vérifient ceci ?)

    Pour ces valeurs de $n$, quel encadrement proposer pour $\frac{1}{n}$ ?
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    @lourran, une série alternée est une série du type $\sum (-1)^n a_n$ où $a_n$ décroît vers 0 (donc $a_n$ est positif et la série converge).
    Edit : cf. le message de Gérard
  • Amathoué
    Amathoué
    Et moi je ne sais pas ce que veut dire « changer de variation à chaque valeur de $n$ ».
    Exemple pour une suite $w$: $w_7=10$, est-ce que les variations ont « changé »?
    Soyons de bonne foi: $w_7=10$ et $w_8=12$, est-ce que les variations ont « changé »?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Calli.

    Il n'est pas nécessaire que $a_n$ tende vers 0 pour parler de série alternée. la série $\sum (-n)^n$ est alternée; La série $\sum \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$ aussi.
    Ne pas confondre avec le théorème appelé souvent "critère spécial des séries alternées".

    Cordialement.
  • Calli
    Calli
    En effet @gerard0, je viens de le constater sur Wikipédia. La définition que j'ai donnée est celle que j'ai apprise en prépa ; je ne savais pas qu'il en existait une autre. Merci de me corriger.
  • gerard0
    gerard0
    En fait, il y a des tas de séries alternées pour lesquelles la convergence se justifie sans le théorème. Par exemple par convergence absolue, comme $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$. L’intérêt du théorème est que dans ce cas, on a une majoration immédiate de l'erreur faite en remplaçant la somme par une somme partielle (erreur inférieure à la valeur absolue du premier terme négligé).

    [Était-ce cette série à laquelle tu pensais ? AD]
    [Merci, Alain, mais c'était simplement celle-ci. Cordialement]
  • Etienne l’autre
    Etienne l’autre
    Merci pour vos réponses :)
    Je ne vois pas trop comment utiliser un regroupement de terme en général mais dans ce cas cela revient à mettre les termes positifs d’un côté et les négatifs de l’autre et montrer que chacune des deux parties des termes tendent vers la même chose?
    Et pour la transformation d’Abel je n’y avait pas pensé je vais essayer :)

    Pour moi une série alterné c’est une série de termes Un tels que Un*(-1)^n>=0 par exemple
  • Math Coss
    Math Coss
    Non, simplement estimer la somme des termes de même signe entre deux changements de signe.
  • Etienne l’autre
    Etienne l’autre
    Ça me parait un peu abstrait :)
    Par exemple ça pourrait se résumer à voir qu’entre deux changements de signes la série devient énorme en valeur absolue et donc le converge pas?
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    pour n compris entre 3 et 7 (bornes comprises) tu as 5 chiffres dont la partie entière du logarithme népérien est 1
    (donc les termes correspondants de la séries sont négatifs)

    pour n compris entre 22017 et 59874 (bornes comprises) tu as 37847 nombres dont la partie entière du logarithme népérien est 10
    (donc les termes correspondants de la série sont positifs)

    l'alternance de signe des termes est de plus en plus rare mais cette alternance de signe est certaine
    cela suffit à dire que la série est convergente

    cordialement
  • Math Coss
    Math Coss
    @Étienne l'autre : Oui, c'est l'idée. Pour quelles valeurs de $n$ est-ce que le signe de $(-1)^{\lfloor\ln n\rfloor}$ change ? Cf. ici...
  • marsup
    marsup
    En fait elle diverge (n'écoute pas jean lismonde, qui a ses définitions personnelles).

    Mais elle diverge de "pas grand chose".

    Tu peux regarder $u_n = S_{N}$ pour $N = \lfloor e^{n} \rfloor$.

    Ainsi $u_{n+1}-u_n$ est une somme de termes tous de même signe.

    On regarde $|u_{n+1}-u_n|$ et on reconnaît astucieusement une somme de Riemann qui tend vers 1. (on voit facilement, en tout cas, que cette valeur absolue est minorée.)
  • Etienne l’autre
    Etienne l’autre
    Merci à tous pour votre aide elle n'était vraiment pas intuitive celle là :-)
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