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Exemple dans $L^2(\Omega)$

Envoyé par Zakariyae 
Exemple dans $L^2(\Omega)$
il y a dix mois
avatar
Salut à tous.
Je cherche un exemple d'une fonction $u$ dans $L^2(\Omega)$ ($\Omega$ un ouvert de $\mathbb R^n$), telle que $\frac{\partial u}{\partial x_i}\not \in L^2(\Omega)$.
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par AD.
MrJ
Re: Exemple
il y a dix mois
Par exemple $x\mapsto\sqrt{x_i}$ sur $]0,1[^n$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par MrJ.
Re: Exemple
il y a dix mois
$x\mapsto \frac{1}{x^{1/3}}$ sur $]0;1]$ ?
Re: Exemple dans $L^2(\Omega)$
il y a dix mois
Pour si on veut que la dérivée soit définie sur $\mathbb{R}$ et que l'explosion soit à l'infini, on peut choisir $\dfrac{e^{ix^2}}{1+x^2}$.
Sinon, il y a des cas plus dégénérés où la dérivée est une distribution : par exemple l'indicatrice de $[0, \, +\infty[$ est $L^2$ sur tout borné, mais sa dérivée est le Dirac en zéro.
J'imagine que la question sert à trouver une fonction qui n'est pas dans l'espace de Sobolev $H^1$, c'est pour ça qu'il faut avoir en tête ce genre de cas.

[Paul Dirac (1902-1984) prend toujours une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par AD.
Re: Exemple dans $L^2(\Omega)$
il y a dix mois
avatar
Ok merci @MrJ @marsup.
@Tableau Blanc, oui c'est ca, si $u\in L^2(\Omega)$ on a pas toujours $\frac{\partial u}{\partial x_i}\in L^2(\Omega)$, ce qui motive la définition de l'espace de Sobolev $H^1$.
Bonne journée
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