Longueur d'une ellipse et séries (L2, prépa)

Moi je serais tenté d'écrire :
$k = \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}$, $\quad\alpha = \frac{a^2}{a^2+b^2},$ $\quad\beta = \frac{b^2}{a^2+b^2}$
On a : $\quad\alpha+\beta = 1$, $\quad\alpha-\beta = k^2$.
Ainsi : $\quad\alpha = \frac{1+k^2}{2}$, $\quad\beta = \frac{1-k^2}{2}$.
Donc $$
\begin{align}
L & = \int \sqrt{a^2 \cdot \sin^2(t)+ b^2 \cdot \cos^2(t)} \\
& = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \int \sqrt{\alpha \cdot \sin^2(t)+ \beta \cdot \cos^2(t)} \\
& = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \int \sqrt{\frac{1+k^2}{2} \cdot \sin^2(t)+ \frac{1-k^2}{2} \cdot \cos^2(t)} \\
& = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \int \sqrt{\frac{1}{2} \cdot (1-k^2 \cdot \cos(2t))} \\
\end{align}

$$ Et puis alors, il faut refaire tout le calcul.
(je trouve que l'énoncé demande beaucoup de travail, tout en étant assez économe de ses propres efforts !)

Bonjour,

Mazette !

Indications :
On paramétrise une ellipse du plan de demi-axes $\displaystyle a>b$ et on calcule l'abscisse curviligne puis le périmètre $P$ en utilisant les symétries : $\displaystyle P=4 a \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^2 \cos^2 \theta} d\theta$ avec $\displaystyle k^2=1-b^2/a^2.$
Par changement de variables on fait apparaître une intégrale elliptique complète de seconde espèce $\displaystyle E(k)=\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^2 \sin^2 \theta} d\theta$ : $\displaystyle P=4a E(k).$
On révise sur les fonctions hypergéométriques : $\displaystyle F(a,b;c;z)=\sum_{j\geq 0}{(a)_j(b)_j \over (c)_j j!}z^j$ pour $|z|<1$ solutions des équations différentielles $\displaystyle z(1-z) y'' + [c-(a+b-1)z]y'-aby=0.$ Le symbole de Pochammer est $\displaystyle (a)_j=a(a+1)(a+2) \cdots (a+j-1).$
On note les relations $\displaystyle E(k)={\pi \over 2}F(-{1\over 2},{1\over 2};1;k^2)$ et $\displaystyle F(a,b;2b;2z)=(1-z)^{-a}F({a\over 2},{a+1\over 2};b+{1\over 2};{z^2\over (1-z)^2}).$
On applique alors $\displaystyle a=-{1\over 2}, b={1\over 2},2z=k^2$ pour trouver $\displaystyle P=4aE(k)=2\pi a F(-{1\over 2},{1\over 2};1;k^2)=2\pi ({a^2+b^2 \over 2})^{1/2} F(-{1\over 4},{1\over 4};1;({a^2-b^2 \over a^2+b^2})^2).$
On termine avec les expressions dans la série pour éliminer les symboles de Pochhammer.