Ensemble vide

Bonjour.

L'implication $x\in\mathbb R \text{ et } x^2+x+1 = 0 \ \Rightarrow x\in \emptyset$ est simplement la résolution de l'équation.
L'implication réciproque est évidente puisque $x\in \emptyset$ est faux.

Cordialement.

Commençons par donner la définition de :
- l’ensemble vide
- $x \in \emptyset$

Ne pas savoir faire cela et poser la question c’est manquer de cohérence.

Haha.
Voici une piste éclairante : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,554220

Une autre : http://www.math.univ-metz.fr/~chill/logique.pdf

Jrbrazza,

on dirait que ça te révulse d'utiliser une propriété fausse.
Pourtant les propriétés fausses sont aussi utiles que les propriétés vraies, pour naviguer dans les mathématiques.

Cordialement.

Je comprends que l’écriture « $x\in \emptyset$ » soit considérée comme bizarre.
En effet, on dispose d’un élément, on le note $x$ et il appartient à l’ensemble qui ne contient aucun élément.

Bonjour,

Je vois peut-être ce qui gêne Jrbrazza...Je vais essayer de le dire "à sa manière à lui" dans un premier temps.

Dans son 1er post, il pose l'équivalence entre deux propositions (*) dont la 2nde ("$x$ appartient à l'ensemble vide") lui semble manifestement fausse ou contradictoire (définition de $\emptyset$), alors que la 1ere ("il existe un réel $x$ tel que $x^2 + x + 1=0$") lui paraîtrait plus sensée car construite de façon cohérente. Comment poser l'équivalence entre une proposition cohérente/bien sensée et une proposition fausse et absurde ? En effet ça peut sembler paradoxal...Or, peut-être doit-il se rappeler que les deux propositions sont fausses et contradictoires et que l'équivalence entre deux contradictions ou deux faux n'est plus paradoxale.

Je ne sais pas si je suis clair.

Edit pour clarté (*) : $[\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 1=0] \Leftrightarrow x \in \emptyset$

***Edit de JLT : voulais-tu dire $\forall x \in \mathbb{R}, [x^2 + x + 1=0 \Leftrightarrow x \in \emptyset]$ ? ***

Re-Edit Ltav : merci, je préfère : $\forall x[(x \in \mathbb{R} | x^2 + x + 1=0) \Leftrightarrow (x \in \emptyset)]$

Je vais reprendre le questionnement que je proposais (enfin, presque)

1) Dans l’assertion « x appartient à l’ensemble vide », « x », c’est quoi ?
1bis) Ça revient à demander ce que signifie « $x \in \emptyset$», non ? oui ?

2) On a : quel que soit l’ensemble $E$, $\emptyset \subset E$,
Donc, $x\in \emptyset$ entraîne $x\in E$.
Dis-je vrai ?

C’est encore cette historie de « faux => vrai » me dis-je.

N.b. Médite bien la contradiction inhérente à la proposition ''$x$ est un réel et $x^2+ x + 1=0$'' : il est clair que ce réel ne peut exister, pas plus que l'appartenance d'un réel à $\emptyset$.

Les maths se pratiquent avec des contextes ("listes des noms déclarés des personnages de l'histoire").
Si $\mathcal C$ est un contexte (donc un ensemble de noms), les formules de $\mathcal C$ sont les formules dont toutes les variables libres sont dans $\mathcal C$. Par exemple des incantations telles que "soit E un espace vectoriel ..." introduisent une lettre $E$ dans le contexte du discours courant.

Définition: Soient $\mathbf P_1,...,\mathbf P_n$ des lettres (dites "variables propositionnelles") $\Phi$ une formule propositionnelle construite à l'aide de $\mathbf P_1,...,\mathbf P_n$ et des connecteurs usuels $\Rightarrow,\vee,\wedge$ et $\neg$. Si $\Phi$ est vraie dans la table de vérité pour toutes valeurs (vrai/faux) de $\mathbf P_i$ on dit que $\Phi$ est une tautologie propositionnelle; et on appellera aussi tautologie propositionnelle n'importe quel énoncé obtenu en remplaçant les $\mathbf P_1,...,\mathbf P_n$ par des énoncés $F_1,...,F_n$ quelconques.



Les règles exhaustives des raisonnement des maths (classiques) sont indiquées ci-dessous :
0°)remarques préliminaires:
-les règles 3° et 4° et 8° disent comment l'ensemble ds hypothèses peut changer au cours de la preuve
-les règles 7° et 8° ci-dessus sont les seules qui font changer le contexte au cours de la preuve.
- Si $R$ est une formule du contexte $\mathcal C\cup \{\alpha\}$, $\exists \alpha R$ et $\forall \alpha R$ sont des formules de $\mathcal C$ ($\alpha$ est liée dans ces formules).
- en admettant l'équivalence entre $\forall x (\neg H)$ et $\neg \exists x H$ d'une part et $\exists x (\neg H)$ et $\forall x \neg H$ il est possible de déduire 5° et 7° de 1°,2°,3°,4°,6°,8°, mais aussi de déduire 6° et 8° de 1°,2°,3°, 4°, 5° et 7° pour un exo instructif

1°) Si $\mathcal C$ est un contexte et $F_1,...,F_n,G$ sont des formules de $\mathcal C$ et si $(F_1 \wedge F_2 \wedge ... \wedge F_n) \Rightarrow G$ est une tautologie propositionnelle (cf 0° ci-dessus) alors $G$ est démontrable dans $\mathcal C$ sous les hypothèses $F_1,...,F_n$.

2°) 3°) Si $\mathcal C$ est un contexte et $F_1,...,F_n,P,Q$ sont des formules de $\mathcal C$, et si $Q$ est démontrable sous les hypothèses $F_1,...,F_n$ alors $Q$ est aussi démontrable dans $\mathcal C$ sous les hypothèses $F_1,...,F_n,P$ ("affaiblissement des hypothèses";si $Q$ est prouvable,il l'est a fortiori en supposant en plus $P$)

3°) Si $\mathcal C$ est un contexte et $F_1,...,F_n,A,B$ sont des formules de $\mathcal C$, et si $A$ et $A\Rightarrow B$ sont tous les deux démontrables sous les hypothèses $F_1,...,F_n$ alors $B$ est aussi démontrable dans $\mathcal C$ sous les hypothèses $F_1,...,F_n$ ("modus ponens")

4°) Si $\mathcal C$ est un contexte et $F_1,...,F_n,X,Y$ sont des formules de $\mathcal C$, et si $Y$ est démontrable sous les hypothèses $F_1,...,F_n,X$ alors $X \Rightarrow Y$ est démontrable dans $\mathcal C$ sous les hypothèses $F_1,...,F_n$ ("règle de déduction": si $Y$ est vrai en supposant en plus $X$, alors $X$ entraîne $Y$)

5°) Si $\mathcal C$ est un contexte, $F_1,...,F_n$ des formules de $\mathcal C$, $\theta$ une lettre n'appartenant pas à $\mathcal C$, $t$ un terme écrit avec les lettres de $\mathcal C$ et si $G$ est une formule de $\mathcal C \cup \{\theta\}$ telle que $\forall \theta G$, est démontrable dans $\mathcal C$ sous $F_1,...,F_n$, alors $G[\theta := t]$ l'est également(i.e. la formule obtenue en remplaçant $\theta$ par $t$ dans $G$ en faisant attention à remplacer au préalable les variables liées de $G$ qui apparaissent libres dans $t$) est aussi démontrable dans $\mathcal C$ sous $F_1,...,F_n$ (si c'est vrai pour tous, c'est vrai pour un...).

6°) Si $\mathcal C$ est un contexte $F_1,...,F_n$ des formules de $\mathcal C$, $\theta$ une lettre n'appartenant pas à $\mathcal C$, $t$ un terme écrit avec les lettres de $\mathcal C$ et si $G$ est une formule de $\mathcal C \cup \{\theta\}$ telle que $G[\theta := t]$, est démontrable dans $\mathcal C$ sous $F_1,...,F_n$, alors $\forall \theta G$ est prouvable dans $\mathcal C$ sous $F_1,...,F_n$. (si on prouve une propriété pour un objet explicite, on prouve aussi "qu'il existe un objet ayant cette propriété").

7°) Si $\mathcal C$ est un contexte $F_1,...,F_n$ des formules de $\mathcal C$, $\theta$ une lettre n'appartenant pas à $\mathcal C$, $G$ une formule du contexte $C \cup \{\theta\}$ et si dans $C\cup\{ \theta \}$ il est possible de démontrer $G$ sous les hypothèses $F_1,...,F_n$, alors $\forall \theta G$ est démontrable dans $\mathcal C$ sous les hypothèses $F_1,...,F_n$.
(idée: le nom $\theta$ ne figurant pas dans les $F_i$ sauf comme auxiliaire -variable liée-, il peut désigner n'importe quoi et donc $G$ a été démontrée pour "$\theta$ quelconque").

8°) Si $\mathcal C$ est un contexte, $\theta$ une lettre n'apparaissant pas dans $\mathcal C$, $F_1,...,F_n$ des formules de $\mathcal C$ et $P$ une formule de $\mathcal C \cup \{\theta\}$ telle que $\exists \theta P$ est démontrable dans $\mathcal C$ sous les hypothèses $F_1,..,F_n$, alors toutes les formules $Q$ de $\mathcal C$ qui sont démontrables dans $\mathcal C\cup \{\theta\}$ sous les hypothèses $F_1,...,F_n$$,P$, sont également démontrables dans $\mathcal C$ sous les hypothèses $F_1,...,F_n$.
(intuitivement cette règle dit qu'on peut dans les raisonnements, introduire un nouveau nom -ici $\theta$- pour les objets dont on a démontré l'existence).

************************************
Une théorie $\mathcal T$(sur le contexte $\mathcal C$) est un ensemble (au sens intuitif) de formules de $\mathcal C$.
Par exemple $ZFC$ (resp l'arithmétique de Peano) sont des théories sur le contexte vide (resp $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ et on a un symbole de fonction $\chi$ dont l'emploi est régi par $\forall p,q, \chi(p,q)=(9+1)p+q$; $547$ abrège $\chi(\chi(5,4),7)$ par exemple).
Les théorèmes d'une théorie $\mathcal T$ dans $\mathcal C$ sont les énoncés démontrables dans ledit contexte sous un nombre fini d'hypothèses prises dans $\mathcal T$

On abrégera désormais "$G$ est démontrable sous les hypothèses $F_1,...,F_n$ dans le contexte $\mathcal C$" par
$F_1,...,F_n \vdash_{\mathcal C} G$

*************************************
Quelques propriétés supplémentaires: soient $\mathcal C$ un contexte et $F_1,...,F_n$ des formules de $\mathcal C$.

9°)pour tout $i=1,2,...,n$ on a $F_1 ,... ,F_n \vdash_{\mathcal C} F_i$; en effet $(F_1 \wedge ... \wedge F_n) \Rightarrow F_i$ est une tautologie propositionnelle, cf 1°)

10°) si $H$ est une tautologie propositionnelle, $(F_1 \wedge ... \wedge F_n) \Rightarrow H$ aussi et donc
$F_1 ,... F_n \vdash_{\mathcal C} H$

*************************************
Parlons un peu de l'ensemble vide.
En fait vous avez $P$ qui est une formule à une variable libre $y$ et une lettre $V$.

(a) D'après 9°) on a $\neg(\exists y \in V),y \in V \vdash_{\{V,y\}} y \in V$(a1) et $\neg(\exists y \in V),y \in V \vdash_{\{V,y\}} \neg (\exists y(y \in V))$ (a2) .

(b)D'après (a1) et 5°), $\neg(\exists y \in V),y \in V \vdash_{\{V,y\}} \exists (y \in V)$ (la lettre $y$ est un terme du contexte $\{V,y \}$).

(c) De plus ($\bf (\neg A) \Rightarrow (A \Rightarrow $ étant une tautologie propositionnelle), 10°) entraîne que
$\neg(\exists y \in V),y \in V \vdash_{\{V,y\}} \neg(\exists y (y \in V)) \Rightarrow ((\exists y(y \in V)) \Rightarrow P) $

(d) D'après (a2), (c) et 3°), $\neg(\exists y \in V),y \in V \vdash_{\{V,y\}} ((\exists y(y \in V)) \Rightarrow P$

(e) D'après 3°) et (b),$\neg(\exists y \in V),y \in V \vdash_{\{V,y\}} \Rightarrow P$

(f) d'après 4°), $\neg(\exists y \in V) \vdash_{\{V,y\}} (y \in V) \Rightarrow P$

Et donc enfin, par 7°), $\neg(\exists y \in V) \vdash_{\{ V\}} \forall y \left [(y \in V) \Rightarrow P \right ]$

Noter que le dernier contexte ne contient que $V$ et pas $y$!! C'est pour ça que ce n'est pas absurde (on n'est pas en train de prendre un élément de l'ensemble vide "avec ses mains" en geignant). Les listes d'hypothèses sous le contexte $\{y\}$ ci-dessus sont en fait contradictoires. La lettre $y$ dans l'expression de la dernière ligne $\forall y \left [(y \in V) \Rightarrow P \right ]$ y est [size=large]liée[/size] et donc ne désigne rien.

...et inversement.

De rien Jrbrazza. Pour la deuxième implication, souviens-toi que la proposition "$x$ appartient à l'ensemble vide" peut se reformuler en la propositions contradictoire : "x appartient à l'ensemble qui ne contient aucun élément". Or, cet ensemble est égal en particulier (*) à l'ensemble $S$ des réels qui vérifient une équation $E$ sans solution réelle, $x^2 + x + 1$. Donc logiquement $x$ appartient à cet ensemble $S$ d'où par définition de $S$ : $x$ est réel et $x$ vérifie l'équation $E$. Tu as là ta seconde implication.

Est-ce que tu vois mieux ?

(*) J'utilise en implicite la propriété que tous les "ensembles vides" sont égaux, i.e. il n'y a qu'un seul ensemble vide.

Eh bien, par exemple : "x appartient à un certain ensemble" et "cet ensemble ne contient aucun élément". C'est bien contradictoire.

Ok, par exemple si on te dit qu'un certain réel x n'existe pas, puis on te demande quel réel y est la somme de x et de 1, que répondrais-tu ?

Bonjour,

Merci à Cc pour la remarque : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1681272,1880026#msg-1880026

@Dom : oui, c'est ça en termes de couples $(x,y)$ dans $\mathbb{R}^2$ vérifiant la propriété contradictoire de Jrbrazza.

Tout à fait, on peut le dire comme ça.