@JLT : En effet! @Side : Merci, j'ai corrigé (il faut affiner le découpage)
Soit $\lambda\in ]0,1[.$
On a d'une part : $\displaystyle u(n)\geq \sum_{\lambda n\leq k\leq n}(\frac{k}{n})^{k}:=\tilde{u}(n).$
Et d'autre part, $\displaystyle u(n)\leq \sum_{1\leq k\leq \lambda n} \lambda^{k} + \sum_{\lambda n\leq k\leq n}(\frac{k}{n})^{k}\leq \frac{\lambda}{1-\lambda}+\tilde{u}(n).$
En notant $d\Sigma$ la mesure de comptage sur $\mathbb{N},$ on a (en retournant la somme comme suggéré par JLT) pour $n\geq 1$ : $$\tilde{u(n)}=\int_{0}^{(1-\lambda)n}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n-t}d\Sigma(t).$$
Il ne reste plus qu'à appliquer le théorème de convergence dominée pour conclure.
Notons $\displaystyle \phi_{n}(t)=\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n-t}\mathrm{1}_{[0,(1-\lambda)n]}(t).$
Pour tout $t\in [0,(1-\lambda)n],$ $\displaystyle 0 \leq \phi_{n}(t) =\exp\left( (n-t)\ln(1-\frac{t}{n})\right)\leq \exp\left(-(n-t)\frac{t}{n}\right)\leq e^{-\lambda t}$ (fonction intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$).
De plus, pour $t\in[0,+\infty[,$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\phi_{n}(t)=e^{-t}.$
Ainsi, par le théorème de convergence dominée, on obtient : $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\tilde{u}(n)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}d\Sigma(t)=\sum_{k\geq 0}e^{-k}=\frac{e}{e-1}.$
Ainsi, par les encadrements précédemment prouvés, on obtient d'une part : $\displaystyle \liminf_{n\rightarrow +\infty}u(n)\geq \frac{e}{e-1}.$
Mais, on a également : $\displaystyle \limsup_{n\rightarrow +\infty}u(n) \leq \frac{\lambda}{1-\lambda}+\frac{e}{e-1}.$
On conclut en faisant tendre $\lambda$ vers $0$ que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u(n)=\frac{e}{e-1}.$
Merci !
Effectivement pas de sommes de Riemann et l'indication de changer $k$ en $n-k$ permet de s'en sortir. Je n'y arrivais pas faute d'avoir pensé à la convergence dominée...
Il me semblait avoir lu que dans certains cas le théorème de convergence dominé ne pouvait pas se substituer aux différents théorèmes avec la convergence uniforme, mais j’avoue n’avoir jamais étudié plus en détail cette affirmation.
@Side : Merci! J'ai corrigé plus haut.
J'ai adapté le calcul précédent grâce à tes remarques (ma domination était largement fausse ^^). La preuve donnée reste quasi-inchangée, à une majoration près (estimer une somme géométrique...).
@Fin de partie
Je l'ai trouvé dans le livre à la bibliothèque
Ovidiu Furdui , limits series fractional part integral chez Springer
paru en 2012 , c'est l' exercice 1.12
Dans son livre Limits, Series and Fractional Part Integrals, problème 1. 12, p. 2, p. 32, Ovidiu Furdui renvoie pour la solution à :
Radulescu, T.L., Radulescu, D.V., Andreescu, T., Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis. Springer, Dordrecht (2009), problème 1. 6. 38, p. 56. Las ! Dans cet ouvrage, ce problème fait partie des « Independent Study Problems », non corrigés ! Tout au plus avons-nous droit à une indication (« Hint ») consistant à couper la somme en deux au niveau de $\sqrt[3]{n}$.
Ajoutons qu'Ovidiu Furdui pose en page 3, comme problème 1. 13, la limite de $\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\Big(\frac{k}{m}\Big)^{sm}$ et en page 32 il ne donne toujours pas de solution, mais renvoie à un autre ouvrage : Bromwich, T.J.I’A.,An Introduction to the Theory of Infinite Series, 3rd edn. AMS Chelsea Publishing, Providence (1991). Mais il fournit d'intéressantes informations sur l'histoire de ce problème, provenant semble-t-il de Wolstenholme.
Ces deux problèmes semblent voisins, ne serait-ce que par la parenté des limites qu'on trouve. J'avais travaillé sur le second, que quelqu'un a qualifié plus haut de « classique » sans doute à juste titre car on le trouve dans Bourbaki, E. Ramis (orange, 1968), Arnaudiès-Fraysse, Bréal 1989-90. Et je m'étais spontanément posé la question de son frère, qui fait l'objet de ce fil. J'ai des notes à ce sujet et j'en dirai plus ... quand je les aurai retrouvées.
@ side
En effet, bravo, rien ne t'échappe, mais c'est l'auteur lui-même qui fait la confusion et moi j'ai recopié bêtement. Voici la p. 56 du livre de Radulescu & alii, à quoi renvoie Furdui.
Merci à Chaurien, JLT , side, Fin de Partie , Mr.J , Blueberry , BobbyJoe pour vos partages de connaissances.
Cela est très appréciable car ces temps-ci tout devient cher et payant.
@Side
Tu n'aimes pas la preuve par les limites sup et inf, par l'introduction d'un paramètre de coupure (que l'on peut optimiser pour avoir une vitesse de convergence...)?
L’intérêt est d'épurer le coté technique pour rendre plus lisible les preuves.
Dans une moindre mesure, la preuve du lemme de Cesàro s'en trouve simplifiée et des exercices comme regarder le comportement pour $u_{0},\,u_{1}>0$ de $\displaystyle u_{n+2}=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\Big)$ aussi.
De manière plus extrême, essaie par exemple de faire la preuve du théorème Taubérien de Wiener-Ikehara sans ce formalisme et tu vas pleurer! ^^
Réponses
l'exo classique $\sum ( \frac{k}{n})^n $
@Side : Merci, j'ai corrigé (il faut affiner le découpage)
Soit $\lambda\in ]0,1[.$
On a d'une part : $\displaystyle u(n)\geq \sum_{\lambda n\leq k\leq n}(\frac{k}{n})^{k}:=\tilde{u}(n).$
Et d'autre part, $\displaystyle u(n)\leq \sum_{1\leq k\leq \lambda n} \lambda^{k} + \sum_{\lambda n\leq k\leq n}(\frac{k}{n})^{k}\leq \frac{\lambda}{1-\lambda}+\tilde{u}(n).$
En notant $d\Sigma$ la mesure de comptage sur $\mathbb{N},$ on a (en retournant la somme comme suggéré par JLT) pour $n\geq 1$ : $$\tilde{u(n)}=\int_{0}^{(1-\lambda)n}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n-t}d\Sigma(t).$$
Il ne reste plus qu'à appliquer le théorème de convergence dominée pour conclure.
Notons $\displaystyle \phi_{n}(t)=\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n-t}\mathrm{1}_{[0,(1-\lambda)n]}(t).$
Pour tout $t\in [0,(1-\lambda)n],$ $\displaystyle 0 \leq \phi_{n}(t) =\exp\left( (n-t)\ln(1-\frac{t}{n})\right)\leq \exp\left(-(n-t)\frac{t}{n}\right)\leq e^{-\lambda t}$ (fonction intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$).
De plus, pour $t\in[0,+\infty[,$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\phi_{n}(t)=e^{-t}.$
Ainsi, par le théorème de convergence dominée, on obtient : $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\tilde{u}(n)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}d\Sigma(t)=\sum_{k\geq 0}e^{-k}=\frac{e}{e-1}.$
Ainsi, par les encadrements précédemment prouvés, on obtient d'une part : $\displaystyle \liminf_{n\rightarrow +\infty}u(n)\geq \frac{e}{e-1}.$
Mais, on a également : $\displaystyle \limsup_{n\rightarrow +\infty}u(n) \leq \frac{\lambda}{1-\lambda}+\frac{e}{e-1}.$
On conclut en faisant tendre $\lambda$ vers $0$ que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u(n)=\frac{e}{e-1}.$
Merci !
Effectivement pas de sommes de Riemann et l'indication de changer $k$ en $n-k$ permet de s'en sortir. Je n'y arrivais pas faute d'avoir pensé à la convergence dominée...
Autre question quelle est la monotonie de u(n) ?
Étudier la monotonie de
$u(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{k^k}{n^k}$
merci
J'ai adapté le calcul précédent grâce à tes remarques (ma domination était largement fausse ^^). La preuve donnée reste quasi-inchangée, à une majoration près (estimer une somme géométrique...).
Je l'ai trouvé dans le livre à la bibliothèque
Ovidiu Furdui , limits series fractional part integral chez Springer
paru en 2012 , c'est l' exercice 1.12
Radulescu, T.L., Radulescu, D.V., Andreescu, T., Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis. Springer, Dordrecht (2009), problème 1. 6. 38, p. 56. Las ! Dans cet ouvrage, ce problème fait partie des « Independent Study Problems », non corrigés ! Tout au plus avons-nous droit à une indication (« Hint ») consistant à couper la somme en deux au niveau de $\sqrt[3]{n}$.
Ajoutons qu'Ovidiu Furdui pose en page 3, comme problème 1. 13, la limite de $\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\Big(\frac{k}{m}\Big)^{sm}$ et en page 32 il ne donne toujours pas de solution, mais renvoie à un autre ouvrage : Bromwich, T.J.I’A.,An Introduction to the Theory of Infinite Series, 3rd edn. AMS Chelsea Publishing, Providence (1991). Mais il fournit d'intéressantes informations sur l'histoire de ce problème, provenant semble-t-il de Wolstenholme.
Ces deux problèmes semblent voisins, ne serait-ce que par la parenté des limites qu'on trouve. J'avais travaillé sur le second, que quelqu'un a qualifié plus haut de « classique » sans doute à juste titre car on le trouve dans Bourbaki, E. Ramis (orange, 1968), Arnaudiès-Fraysse, Bréal 1989-90. Et je m'étais spontanément posé la question de son frère, qui fait l'objet de ce fil. J'ai des notes à ce sujet et j'en dirai plus ... quand je les aurai retrouvées.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
a) Limite de $\sum_{k=1}^{n} ( f(k/n))^n $ pour la version classique
b) Limite de $\sum_{k=1}^{n} (f(k/n))^k $ pour la version que j'ai posté dans mon premier
En effet, bravo, rien ne t'échappe, mais c'est l'auteur lui-même qui fait la confusion et moi j'ai recopié bêtement. Voici la p. 56 du livre de Radulescu & alii, à quoi renvoie Furdui.
Cela est très appréciable car ces temps-ci tout devient cher et payant.
voir ci-dessous
https://oeis.org/A043300
Tu n'aimes pas la preuve par les limites sup et inf, par l'introduction d'un paramètre de coupure (que l'on peut optimiser pour avoir une vitesse de convergence...)?
Dans une moindre mesure, la preuve du lemme de Cesàro s'en trouve simplifiée et des exercices comme regarder le comportement pour $u_{0},\,u_{1}>0$ de $\displaystyle u_{n+2}=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\Big)$ aussi.
De manière plus extrême, essaie par exemple de faire la preuve du théorème Taubérien de Wiener-Ikehara sans ce formalisme et tu vas pleurer! ^^