Notion de cardinal

Tyoussef · October 2019

Bonjour ou bonsoir (voir l'heure)

La notion de cardinal est une notion connue par tous, mais je me demande si cette notion peut exprimer [le] nombre d'éléments d'un ensemble infini comme les séries numériques ou de fonctions... ?.

Merci d'avance, pour vos suggestions.

Dom · October 2019

Non et un peu oui....
Ma définition est « E et F ont même cardinal signifie il existe une bijection de E sur F ».

« Avoir même cardinal » est une relation d’équivalence.
Les classes d’équivalences sont les cardinaux.
Pour les ensembles finis, on donne un nombre entier comme référence.
Pour les ensembles infinis, on a $\mathbb N$ comme référence dont le cardinal est noté $\aleph_0$
On a aussi $\mathbb R$ dont le cardinal est noté $\aleph_1$. (Edit : si l’on
accepte l’hypothèse du continu, voir le message de Corto ;-))
Ces deux derniers cardinaux sont des classes d’ensembles infinis mais ce sont des infinis différents dans le sens où l’un s’injecte dans l’autre mais on n’a pas d’injection dans l’autre sens.
Intuitivement, $\mathbb R$ contient « plus » d’éléments que $\mathbb N$.

Des pros devraient être plus précis encore.

Remarque : je n’ai pas compris le lien avec la fin de ta dernière phrase (série numérique ou fonction).

Corto · October 2019

Quelques précisions dom. Déjà le cardinal de $\R$ est noté $\mathfrak c$, le cardinal $\aleph_1$ quant à lui est le plus petit cardinal strictement supérieur à $\aleph_0$. On ne sait pas si ces deux cardinaux sont égaux, il s'agit justement de l'hypothèse du continu.

Ensuite s'il est relativement facile de définir la propriété "avoir même cardinal" (ie les deux ensembles sont en bijection) il est plus difficile de définir ce qu'est un cardinal dans la théorie des ensembles. En effet la collection de tous les ensemble ayant un même cardinal n'a pas de raison d'être un ensemble. On peut tout de même s'en sortir à l'aide des ordinaux. Le cardinal d'un ensemble est le plus petit ordinal en bijection avec ledit ensemble.

Bon mais comme je ne suis pas non plus un expert en théorie des ensembles peut être que certains compléteront d'avantage !

Dom · October 2019

Peut-être déplacer cela dans « fondements » ?

Amathoué · October 2019

Dom...tu es sûr(de ta proposition de déplacer en fondements)?....
À tes risques et périls..

Dom · October 2019

(:P)
J’y ai pensé.
Mais c’est vrai qu’une fois déplacée la discussion, je n’interviendrai plus.

Tyoussef · October 2019

Merci pour tous

Je parle de cette définition

DEFINITION:

Soit E un ensemble. On appelle et on note Card(E), le nombre d'éléments de E.
...
Une bijection à mon modeste avis sous le respect vos grand savoir , est une astuce pour calculer le nombre d'éléments de l’ensemble d'arrivée, à partir de l'ensemble de départ, dont on connais le Cardinal .

Dom · October 2019

J’avoue ne pas comprendre ni la question ni la dernière intervention.

Tyoussef · October 2019

$@Dom$
Ah, ok
Peut-on dire le cardinal d'une suite est $n \in \mathbb {N} $ (ou autre nombre fini ou infini) ?
Peut-on dire le cardinal d'une série numérique est $n \in \mathbb {N} $ (ou autre nombre fini ou infini) ?
C'est-à-dire le nombre d'éléments de cette suite ou série, les éléments.

Exemple : $ u_n=\dfrac{n}{\sqrt{n^4+1} } +\dfrac{n}{\sqrt{n^4+2} } +\cdots+ \dfrac{n}{\sqrt{n^4+n} }$
$ \mathrm{card}(u_n)= n-1+1=n $

Et, si on a : $ v_n=\dfrac{n}{\sqrt{n^4+1} } +\dfrac{n}{\sqrt{n^4+2} } +\cdots+ \dfrac{n}{\sqrt{n^4+2n^2+1} }$
$ \mathrm{card}(v_n)= 2n^2+1 -1 +1 = 2n^2+1$

lourrran · October 2019

Le cardinal d'un ensemble, c'est quelque chose de bien défini. C'est le nombre d'éléments de cet ensemble.

Le cardinal d'une suite, à ma connaissance, personne n'a éprouvé le besoin de définir ça.

Tu peux donc bâtir ta propre définition, et l'utiliser dans tes travaux personnels. Mais si tu utilises le cardinal d'une suite dans un exercice ou dans une publication, il faut bien dire quel sens tu donnes à ce mot.

Par exemple, on peut dire que le cardinal d'une suite, c'est le nombre de valeurs différentes ; avec cette définition, pour la suite $u$ définie par $ u_n = (-1)^n$, on aurait donc un cardinal de 2.
C'est une convention, c'est ma convention.

Je crois que je viens finalement de comprendre ton exemple. En fait, ce que tu calcules, c'est le nombre d'éléments d'une somme.
Pour plein de raisons, je n'aime pas du tout l'expression 'cardinal d'une suite' pour désigner ça.

Tyoussef · October 2019

$@lourrran$
Oui, c'est un peu ça, mais comment peut-on appeler nombre d'éléments d'une somme, ou d'une suite sous forme d'une somme ?

Il ne voit pas, qu'un seul candidat " Cardinal "

Amathoué · October 2019

Amathoué a écrit:

Dom...tu es sûr(de ta proposition de déplacer en fondements)?....
À tes risques et périls..

Je m’excuse si j’ai pu vexer des personnes par cette blague de mauvais goût.

lourrran · October 2019

Nombre d'éléments d'une somme. C'est clair, précis, ça décrit bien ce que ça représente. Vouloir utiliser un autre nom n'est pas utile.

En plus, le problème, c'est que tu cherches à donner un nom à un truc qui n'existe pas.

$u_n = 1/n+2/n+3/n .... + n/n$ : le cardinal est n
$u_n = 0/n+1/n+2/n+3/n .... + n/n$ : le cardinal est n+1
$u_n = (n+1)/2$ : le cardinal est 1
$u_n = n/2+1/2$ : le cardinal est 2

Les 4 exemples ci-dessus, c'est 4 fois la même suite. Et donc le cardinal de cette suite (en prenant ta définition), je peux dire que c'est n, ou n+1 ou 1 ou 2.
Et donc $Card(u_n)=n=n+1=1=2$
Voilà, grâce à ta définition, on vient de démontrer que pour tout n, n=n+1 !

Dom · October 2019

Pendant un court instant j'ai compris qu'on souhaitait dénombrer les termes d'une suite : c'est le cardinal de $\mathbb N$, tout simplement. C'est le cardinal de l'ensemble de définition de la fonction, bof bof.
Je ne parle pas de dénombrer les images (là ça peut donner un entier, en effet).

Tyoussef · October 2019

$@lourrran$
D'abord $0 $ dans la somme joue le même rôle que $1$ pour la multiplication.
Je parle du $rang$ au la suite s’arrête. $$

U_n= \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} +\cdots +\frac{n}{n}

$$ donc : $\quad\mathrm{card}(U_n) = n,$
c'est-à-dire, $(U_n)$ n'a pas encore été sommé par $\sum $
On peut prendre une autre suite $V_n $ de terme générale $U_n$ $$

V_n= \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} +\cdots +\frac{2n^2}{n} =U_{2n^2}.

$$ Donc : $\quad\mathrm{card}(V_n)= 2n^2= \mathrm{card}(U_{2n^2}).$

lourrran · October 2019

Si tu tiens absolument à définir le cardinal d'une suite ainsi, libre à toi. Tu te comprends, c'est l'essentiel. Mais, c'est ta convention, ce n'est pas la convention de tout le monde.

En plus, je te disais que je n'aimais pas cette désignation pour plein de raisons, alors je vais te donner une 2ème raison.

Dans ton dernier exemple, tu définis $Card(V_n) = 2n^2$
Soit, admettons.
Mais on ne peut pas appeler cela le cardinal de la suite V.
Eventuellement, on pourrait dire $(Card(V))_n = 2n^2$ : Autrement dit, je définis une suite qui s'appelle Card(V), et le terme général de cette suite est $2n^2$

Parce que quand on parle du Cardinal d'un ensemble, ou du cardinal d'une suite, on s'attend à avoir un nombre entier, pas un nouvel ensemble, ou une nouvelle suite.
Mais là encore, c'est juste parce que j'essaie de bâtir des définitions qui sont cohérentes entre elles. Avoir des définitions cohérentes entre elles, c'est un choix, ce n'est pas une obligation.

Si tu choisis de dire que le cardinal d'un ensemble, c'est un nombre, et le cardinal d'une suite, c'est une suite, c'est ton choix. Tant que tu n'imposes ce choix à personne, tu es libre.

Tyoussef · October 2019

$@ lourrran$

Ok, je ne sais pas comment, mais il nous faut un opérateur pour calculer, le nombre des membres d'un somme ou produit. comme de degré, le rang, la partie entière...Mais il faut qu'elle nous donne nombre des membres d'une somme ou produit ...

si je fais par exemple

$ A=2+2+2$ $ D(A)=3$ et $A=6$

Et , si

$ A=4+2$ on aura $D(A)=2$ et $A=6$

Pablo_de_retour · November 2019

lourrran a écrit:

Je crois que je viens finalement de comprendre ton exemple. En fait, ce que tu calcules, c'est le nombre d'éléments d'une somme.

A mon avis, le cardinal d'une série ou sommation à support fini selon Tyoussef, est un nombre défini comme étant le plus petit nombre d'opérations d'addition effectuées pour calculer cette somme, à permutation des termes près. :-)
Non ?

Tyoussef · November 2019

$@Pablo_de_retour$

Je ne sais pas, quoi faire dans ce problème, je ne sais plus comment définir cette situation

Dom · November 2019

Elle n’a pas d’intérêt immédiatement visible.

Tu l’as toi-même écrit :
10 est une somme qui peut s’écrire avec un nombre arbitraire de termes.
Si on les souhaite tous non nuls, alors c’est indexé par un ensemble au plus dénombrable.
Si on se permet des termes nuls alors on peut indexer la somme par n’importe quel ensemble, même infini non dénombrable.

Bon, et alors...?

Tyoussef · November 2019

Bonsoir ou bonjour (voir l'heure).

Voilà, une autre idée : Partition d'un entier.
On se limite aux suites entières et au séries.

Peut-on dire [que] deux suites sont égales, si elles ont les mêmes partitions ??

Poirot · November 2019

Comme d'habitude, tu peux dire ce que tu veux, du moment que ça a un sens. Qu'est-ce que tu appelles partition d'une suite ?

Tyoussef · November 2019

$@ Poirot $
Malheureusement je n'ai pas fait des études sur la théorie des nombre.
Je me demande comment faire la différence entre ces deux opérations.

5= 4+1
5= 3+2

d'une manière hyper simple, le première $5$ est issue de $4+1$ et le deuxième 5 est issue de $3+2$.

gerard0 · November 2019

Ben ... une fois écrites, ces deux additions se révèlent bien différentes, même si la somme est la même.

Finalement, qu'est-ce que tu cherches vraiment ? A révolutionner les maths (*) ? ou seulement à dénombrer de combien de façons on peut obtenir une somme d'entiers (**) ?

Cordialement.

(*) Encore faudrait-il bien connaître ce qu'on sait y faire, et avoir une vraie idée, pas une vague idée et demander aux autres d'en faire quelque chose.
(*) classique du dénombrement.

Tyoussef · November 2019

$@gerard0 $

""A révolutionner les maths "", ça m'a fait rire merci, les français ont une jolie langue comique HAHAHAHAHA :-D ... HAHAHAHA :-D. Ces jours on a beaucoup de révolutions dans le monde, on ne va pas ajouter une autre.

Ben ... une fois écrites, ces deux additions se révèlent bien différentes, même si la somme est la même.

Oui, c'est ce que je vois, (*) classique du dénombrement, faites-le, s'il vous plaît.

gerard0 · November 2019

Je ne comprends pas la fin de ton message. Que faut-il faire ?

NB : je ne suis pas un spécialiste du dénombrement.

Tyoussef · November 2019

$gerard0 $
Ah, je suis désolé, j'ai lu dénombrement, démonter ...

Ok, c'est bien je vais continu à chercher, on sait jamais ...

gerard0 · November 2019

On pourrait peut-être t'aider, si tu essayais de t'expliquer. Là, tu parles pour toi, tu ne communiques pas.

Tyoussef · November 2019

$@gerard0$
Je vais chercher des exemples pour te mettre à l'image, mon livre de séries et je l'ai donné à un de mes brillant élève qui est dans une école d'ingénieurs et il est majorant là-bas.

C'est une définition, je vais là chercher.

Tyoussef · November 2019

$@ gerard0$

Depuis que je suis arrivé sur ce forum, il a 5 ans, on ne fait que m'aider. Avant j’étais seul dans mon monde, et depuis j'ai beaucoup évolué. (On m'a envoyé et même donné des livres, articles ... tout ceci grâce au forum).

Alors, retournons à nos moutons comme disait le juge français.

Le problème, c'est la définition de l'égalité de deux séries, on dit que deux séries sont égales, si elles ont le même terme général... Non

gerard0 · November 2019

Quoi "Non" ??

Le mot "série" sert à la fois pour définir l'expression formelle ("le série diverge") que, par abréviation, la somme de la série quand elle converge.
Dans le premier sens, si les termes généraux ne sont pas les mêmes, je ne vois pas pourquoi on aimerait dire que c'est la même série (*). Dans le deuxième sens, on peut effectivement dire que deux sommes sont égales, et il y a une infinté non dénombrable de sommes égales à une somme donnée, finie ou infinie.

Donc tu continues à ne pas vraiment t'expliquer, à rester dans le flou ... ou à comprendre de travers des notions simples. tant que tu n'éclairciras pas ton propos (**) on n'avancera pas.

Cordialement.

(*) A égale B signifie que A et B sont deux notations (généralement différentes) pour le même objet : 2+3=5 dit seulement que le nombre 2+3 est le nombre 5.
(**) "Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement" (N. Boileau). Quand on n'arrive pas à dire simplement ce qu'on a en tête, c'est que ce n'est pas vraiment une idée; qu'il faut continuer à y réfléchir, essayer de l'écrire, le réécrire, etc.

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