Limite et borne supérieure
Réponses
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bonjour
ta limite sur la racine n.ième de l'intégrale de $f^n$
semble liée à l'inégalité des moyennes dans le champ de variation de la variable x
cordialement -
Raisonnement epsilonesque pénible : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00107.pdf
La borne supérieure est en fait le maximum, ce qui peut simplifier la solution.
Noter que cet exercice (encore !) figure dans le vénérable : E. Ramis, Exercices d'analyse avec solutions développées, Masson et Cie (orange), 1968, exercice 2-1-3, p. 58.
Bonne journée. -
Là si on ne quantifie pas, c'est fichu !
C'est une manière de justifier le nom de "norme infinie" pour la norme sup. -
Si $M$ est la borne supérieure, pour $\mu<M$ tu as l'existence d'un $x_0$ tel que $\mu<f(x_0)\leq M$ et tu utilises la continuité en $x_0$ pour minorer l'intégrale : $\displaystyle\int_c^df^n\geq\mu^n(d-c)$.
Après, la limite de $n\mapsto\sqrt[n]{d-c}$ étant connue... -
@Chaurien
Je n'aime pas trop la correction du lien que vous avez mis. Trop confus et mal expliqué.
@Rakam
Vous avez encore changé toutes les notations. C'est quoi ce $\mu$ sorti de nulle part ? Je n'ai pas compris votre inégalité avec $f(x_0)$ d'où elle sort.
Bref, j'essaie de le faire moi-même. Si on note $M=\sup_{x \in [a,b]} f(x)$ et $u_n= (\int_{[a,b]} f^n)^{\frac{1}{n}} $ on a : $0 \leq f \leq M$ donc $0 \leq f^n \leq M^n$.
Par passage à l'intégrale, on obtient : $0 \leq \int{[a,b]} f^n \leq (b-a)M^n$ donc $0 \leq u_n \leq M(b-a)^{\frac{1}{n}}$
Soit $\varepsilon>0$.
Par ailleurs $\lim M(b-a)^{\frac{1}{n}}=M$ donc il existe $n_0$ tel que pour $n \geq n_0 \ M(b-a)^{\frac{1}{n}} \leq M+\varepsilon$
Or $M$ est le maximum de $f$ sur $[a,b]$ car l'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Il existe donc $c \in [a,b]$ tel que $M=f(c)$. Comme $f$ est continue en $c$, on a :
$\exists \eta>0 \ \forall x \in [a,b] \cap [c-\eta,c+\eta] \ M-\varepsilon \leq f(x) $
D'où $f^n \geq (M-\varepsilon)^n$
C'est ici que je bloque :-X -
J'ai trouvé la solution finalement (:P)
Soit $\varepsilon' >0$ assez petit de sorte que $1-\varepsilon'>0$.
Si on note $l$ la longueur de l'intervalle $[a,b] \cap [c-\eta,c+\eta] \subset [a,b]$, alors :
$\int_{[a,b]} f^n \geq \int_{[a,b] \cap [c-\eta,c+\eta]} f^n \geq l(M-\varepsilon')^n$.
Ainsi on a $u_n \geq l^{\frac{1}{n}}(M-\varepsilon')$
Or $\lim l^{\frac{1}{n}}=1$ donc il existe un rang $n_1$ tel que pour $n \geq n_1$ on ait : $l^{\frac{1}{n}} \geq 1-\varepsilon$.
D'où $u_n \geq (1-\varepsilon')(M-\varepsilon')=M-\varepsilon'-\varepsilon'M+\varepsilon'^2 \geq M-(M+1)\varepsilon'$
Ainsi, il suffit de choisir $\varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{M+1}$ pour avoir $M-\varepsilon \leq u_n \leq M+\varepsilon$
D'où le résultat. -
Je n'ai pas changé tes notations!
J'ai introduit un $\mu$ que tu peux appeler $M-\varepsilon$ si tu veux et j'ai écrit la propriété de la borne supérieure puis la continuité de $f$ en $x_0$ ce qui définit les réels $c,d$.
Encore une fois je vois que tu tiens à t'engluer avec des intervalles centrés pour écrire des limites.
En utilisant mes notations tu arrives directement sur $\displaystyle\mu\sqrt[n]{d-c}\leq\int_a^bf^n\leq M\sqrt[n]{b-a}$ et tu conclus en utilisant les limites des suites $n\mapsto\sqrt[n]{d-c}$ et $n\mapsto\sqrt[n]{b-a}$ -
La propriété de la borne supérieure c'est :
Pour tout $\varepsilon>0,\ \exists x_0 \in [a,b], \ M-\varepsilon <f(x_0) \leq M$
Oui je préfère comme cela.
Mais en quoi ça vous pose souci les intervalles centrés ? C'est la seule chose que j'ai vue dans le cours sur les limites et la continuité. Donc j'utilise ce que j'ai appris.
Je n'ai jamais vu un cours qui parle d'intervalles non centrés pour la continuité. -
En effet c’est bizarre de s’imposer des intervalles centrés.
Si c’est utile il faut en profiter mais, sinon, ne rien s’imposer est plus simple. Pardon pour cette évidence. -
supp
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OShine a écrit:La propriété de la borne supérieure c'est :
Pour tout $\varepsilon>0 \exists x_0 \in [a,b] \ M-\varepsilon <f(x_0) \leq M$
Pourquoi pas:
Pour tout $\mu<M, \exists x \in [a,b], \mu<f(x)\leq M$ ?
Si tu dis simplement que la première te parle plus, je peux comprendre, mais tu ne peux pas dire que la seconde n’est pas la définition de la borne supérieure! -
@Side
Je n'ai pas compris où vous voulez en venir. Comment voulez-vous que je passe à la limite alors que j'ai utilisé la méthode des epsilon dès le départ ?
Mon but était de montrer que $|u_n-M| \leq \varepsilon$
Je ne comprends pas d'où sort votre $M-2\varepsilon'$
Dans mon cours, tous les intervalles sont centrés. Je ne fais qu'appliquer les définitions. Mais vu mon niveau c'est déjà bien de réussir à appliquer des définitions correctement plutôt que partir dans des choses que je ne maîtrise pas non ? -
Même réponse que sur l'autre topic, si tu stresses quand tu n'as pas un intervalle centré c'est que tu n'as pas vraiment compris le principe de limite ou de continuité.
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Je ne sais pas ce que c'est qu'un intervalle pas centré ni de quoi vous parlez.
Je n'ai jamais étudié ça nulle part. -
supp
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Ok je vois mais je n'ai pas trop compris à quoi ça va nous servir. Pourquoi vous parlez de passer à la limite alors qu'on a déjà des epsilon ?
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supp
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On a $u_n \geq l^{\frac{1}{n}}(M-\varepsilon')$
Où voulez vous passer à la limite ? Directement ici ? -
supp
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Ok mais ça nous apporte quoi de montrer que $u_n >M-2 \varepsilon'$ ?
Si je passe à la limite ça donne $\lim u_n \geq M-2 \varepsilon'$ et j'en fais quoi ? -
supp
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Ok, bon je préfère la méthode classique où on applique les définitions du cours.
Je ne suis pas très à l'aise avec ça. -
supp
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Je n'ai jamais étudié dans un livre qui abordait les intervalles non centré donc ce n'est pas que je les préfère c'est que je n'ai jamais rien vu d'autre que les centrés.
Du coup quand Rakam et Noobey me parlent d'intervalles non centrés, je ne sais même pas à quoi ils font référence. -
Depuis le temps que tu manipules les limites et la continuité tu aurais pu constater que ce qui compte ce sont les encadrements et qu'un réel soit pile au milieu d'un encadrement n'a aucune importance !
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Bon, dans tous les bouquins, on trouve la définition de la continuité avec ce morceau là .
" ... $|x-a|\leq \eta$ ..."
Cela n'a jamais posé de problème à personne.
C'est en le traduisant par : "... $x\in [a-\eta;a+\eta]$ ..." qu'on écrit, disons "plus explicitement", que c'est centré en $a$.
Mais puisque c'est un "il existe $\eta$" on peut réduire l'intervalle, et on se fiche même qu'il soit centré. -
Si on se souvient de la définition(convergence de la fonction $f$ vers la limite $l$ en $a$) dans un cadre plus général($\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle), on a d’ailleurs:
Pour tout ouvert $V$ contenant $l$, il existe un ouvert $U$ contenant $a$ tel que $\forall x \in U, f(x) \in V$.
Ensuite on sait que les intervalles ouverts contenant $a$ sont une base de voisinage de $a$.
Donc on peut se restreindre à :
Pour tout intervalle ouvert $V$ contenant $l$, il existe un intervalle ouvert $U$ contenant $a$ tel que $\forall x \in U, f(x) \in V$.
Plus particulièrement, les intervalles ouverts centrés en $a$ aussi... -
2ième année de quoi? J’ai cru comprendre que tu préparais le Capes?
Sinon pour tes intervalles, si c’est pour la limite en un point, la fonction n’est peut-être pas définie en ce point... -
Oui j'ai vu les limites epointees.
Je prépare le capes oui mais pour l'instant je suis dans le cœur du programme de MPSI d'analyse. La topologie est vue en MP.
Je préfère ne pas aller trop vite pour assimiler les bases. -
Ok.
Au lieu de travailler avec $|x-a|$, tu peux essayer de travailler avec $d(x,a)$.
Tout n'est pas adaptable mais ça permet d'étendre plein de choses aux espaces métriques.
Enfin, bon, ça dépend ce que l'on veut faire. -
Pas besoin de tout ça pour le CAPES ?! (je l'ai déjà passé et eu)
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À terme je voudrais passer l'agrégation interne... Ça pourrait me servir. Mais je verrai ça en temps voulu.
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C’est vrai qu’il n’est pas idiot de savoir travailler avec les notions du début L1.
Après tout ça existe.
Ça contraint certainement mais sur le long terme je pense que c’est positif. -
Ok OShine.
Accroche-toi!
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