Calcul de zéros d'une série de Dirichlet

Voila https://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01999-0/S0025-5718-07-01999-0.pdf

Heu, tu devrais réviser les bases des fonctions analytiques.
Mets la formule que tu as donnée dans parigp ou mathematica, pareil pour la dérivée, et fais une descente de gradient, ou bien utilise l'algorithme déjà implémenté du logiciel (en partant d'une approximation pas trop mauvaise d'un zéro) ça te donnera le zéro avec une précision arbitraire.

Après tu n'as aucune bonne raison de vouloir approximer plus précisément les 3 premiers zéros, la seule raison que je vois c'est de calculer précisément les 1000 premiers zéros pour pouvoir regarder comment la formule explicite converge vers l'équivalent pour $F'/F$ de la fonction de comptage des nombres premiers.

$\chi_5$ est l'un des deux caractères de Dirichlet d'ordre 4 modulo $5$ (Sylvain tu peux nous le construire ?)
L'équation fonctionnelle de la fonction L de Dirichlet (formule sommatoire de Poisson pour $\sum_n \chi_5(n)e^{-\pi n^2 x}$)
$$\Lambda(s,\chi_5) = 5^{-s/2} \pi^{-s/2}\Gamma(s/2) L(s,\chi_5) = \omega \Lambda(1-s,\overline{\chi_5}), \qquad \omega = \frac{G(\chi_5)}{5^{1/2}}$$ (la somme de Gauss, ou son conjugué complexe pas trop sûr)

Donc $$a \Lambda(s,\chi_5)+\overline{a}\Lambda(s,\overline{\chi_5})=a\omega \Lambda(1-s,\overline{\chi_5})+\overline{aw}\Lambda(1-s,\chi_5)$$

En prenant $a = \overline{\omega}^2$ comme $|\omega|=1$ on a une combinaison linéaire de deux fonctions L avec à peu près la même équation fonctionnelle que $\zeta$.

Reste à montrer que $$F(s)= \overline{\omega}\Lambda(s,\chi_5)+\omega\Lambda(s,\overline{\chi_5})$$ a une infinité de zéros sur $\Re(s)\in [1-\epsilon,1+\epsilon]$ ça se fait en montrant que pour tout $c\ne 0$, $G(s)=\frac{L(s,\chi_5)}{L(s,\overline{\chi_5})}-c$ a une infinité de zéros, en trouvant des $\theta_p$ tels que $-\sum_p (\chi_5(p)-\overline{\chi_5(p)})\log(1-p^{1+\epsilon} e^{i \theta_p}) = \log c$ puis en utilisant que les $\log p$ sont $\Q$-linéairement indépendant pour trouver une infinité de $t$ tels que $p^{-it} \approx e^{i \theta_p}$, comme ça converge absolument on a $\log G(1+\epsilon+it) \approx \log c$, et comme $|G'(1+\epsilon+it)'| > A$ et $|G(s)''| < B$ ça veut dire que $G(s)$ a un zéro près de $1+\epsilon+it$.

Stator : Utilise EMSF pour accélérer la convergence de $\sum_n \chi_5(n) n^{-s}$ ou bien adapte https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_eta_function#Numerical_algorithms pour $\Re(s) > 0$ et $\Im(s)$ petit tu peux aussi trouver les premiers termes d'EMSF à la main en approximant $n^{-s}$ par $\int_n^{n+1} x^{-s}dx$ et en utilisant $\int_n^{n+1} (n^{-s}-x^{-s})dx=\int_n^{n+1}\int_n^x s t^{-s-1}dt$. EMSF donne le développement asymptotique de $\sum_{n\ge N} \chi_5(n) n^{-s}$ donc les réponses aux questions que tu poses se sont avec du calcul pas des approximations numériques.