Calcul en coordonnées polaires

@Paul : Merci, je vais regarder.

@Dom : Sous réserve d'existence, sa différentielle en un point $x$ est l'unique application linéaire $A : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour tout $h \in \mathbb{R}^2$, $\lim_{h \to \infty} \frac{f(x+h) - f(x) - A(h)}{\Vert h \Vert} = 0$. Et donc, quoi que veuille dire cette phrase, cela ne dépend pas du tout des "variables utilisées".

Par contre, si maintenant on se fixe une base $(e_1,e_2)$ de $\mathbb{R}^2$, on peut se demander quelle est la matrice de $A$ dans cette base. Eh bien, ses coefficients seront justement les "dérivées partielles de $f$ dans les directions $e_1$ et $e_2$" (cela s'appelle en fait "dérivée directionnelle"). Ici, tout dépend de la base qu'on se choisit, évidemment.

J'ai suivi les notations de Paul Broussous.

Soit $X : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ un champ de vecteurs $C^1$. Je pose, pour tout $(r,\theta)$, $\phi(r,\theta) := (r\cos\theta,r\sin(\theta)$, et je pose $\tilde{X} := X \circ \phi$. A chaque fois que $f$ est une fonction à valeurs dans $\mathbb{R}^2$, je note $f_1$ et $f_2$ les deux fonctions coordonnées de $f$.

Soit $(r_0,\theta_0)$ un couple de réels. On a, pour $i \in \{1,2\}$, $\displaystyle\frac{\partial \tilde{X}_i}{\partial r}(r_0,\theta_0) = \frac{\partial X_i}{\partial x}(\phi(r_0,\theta_0)) \frac{\partial \phi_1}{\partial r}(r_0,\theta_0) + \frac{\partial X_i}{\partial y}(\phi(r_0,\theta_0))\frac{\partial \phi_2}{\partial r}(r_0,\theta_0)$ et $\displaystyle\frac{\partial \tilde{X}_i}{\partial \theta}(r_0,\theta_0) = \frac{\partial X_i}{\partial x}(\phi(r_0,\theta_0)) \frac{\partial \phi_1}{\partial \theta}(r_0,\theta_0) + \frac{\partial X_i}{\partial y}(\phi(r_0,\theta_0))\frac{\partial \phi_2}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)$. Les dérivées partielles de $\phi$ sont sympa, et on obtient donc :

$\displaystyle\frac{\partial \tilde{X}_i}{\partial r}(r_0,\theta_0) = \frac{\partial X_i}{\partial x}(\phi(r_0,\theta_0))\cos\theta_0 + \frac{\partial X_i}{\partial y}(\phi(r_0,\theta_0))\sin\theta_0$ et
$\displaystyle\frac{\partial \tilde{X}_i}{\partial \theta}(r_0,\theta_0) = -\frac{\partial X_i}{\partial x}(\phi(r_0,\theta_0))r_0\sin\theta_0 + \frac{\partial X_i}{\partial y}(\phi(r_0,\theta_0))r_0\cos\theta_0$.

En inversant le système, on obtient alors :

$\displaystyle\frac{\partial X_1}{\partial x}(\phi(r_0,\theta_0)) = \frac{\partial \tilde{X}_1}{\partial r}(r_0,\theta_0)\cos\theta_0 - \frac{1}{r_0}\frac{\partial \tilde{X}_1}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)\sin\theta_0$ et
$\displaystyle\frac{\partial X_2}{\partial y}(\phi(r_0,\theta_0)) = \frac{\partial \tilde{X}_2}{\partial r}(r_0,\theta_0)\sin\theta_0 + \frac{1}{r_0}\frac{\partial \tilde{X}_2}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)\cos\theta_0$

et donc, en le point $\phi(r_0,\theta_0)$, la divergence de $X$ est égale à

$\displaystyle\frac{\partial \tilde{X}_1}{\partial r}(r_0,\theta_0)\cos\theta_0 - \frac{1}{r_0}\frac{\partial \tilde{X}_1}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)\sin\theta_0 + \frac{\partial \tilde{X}_2}{\partial r}(r_0,\theta_0)\sin\theta_0 + \frac{1}{r_0}\frac{\partial \tilde{X}_2}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)\cos\theta_0$ ou encore

$\displaystyle\frac{\partial \tilde{X}_1}{\partial r}(r_0,\theta_0)\cos\theta_0 + \frac{\partial \tilde{X}_2}{\partial r}(r_0,\theta_0)\sin\theta_0 + \frac{1}{r_0}\left(\frac{\partial \tilde{X}_2}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)\cos\theta_0 - \frac{\partial \tilde{X}_1}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)\sin\theta_0\right)$.

Mais je ne vois pas ce que cette formule a à voir avec celle annoncée, par exemple, sur ce post de forum de physique :

https://www.physicsforums.com/threads/divergence-in-polar-coordinates.257816/

Je précise que je suis censé enseigner ce genre de calculs mardi :-D

EDIT : Krokop, je n'avais pas vu ta réponse, je vais regarder. Merci beaucoup en tout cas !

@Paul : Oh, tu sais, je ne vois aucun sens dans tout le reste. Je cherche juste à avoir des formules correctes !

@gebrane : Je ne vois pas de sens à ce que tu écris. Où as-tu défini $\frac{\partial f}{\partial r}$ ? Est-ce que tu confirmes que c'est ce que j'ai proposé ? Est-ce que tu comprends que "en coordonnées polaires, f s'écrit blablabla" n'a pas de sens pour moi ? Maintenant, je crois que j'ai compris que ça veut en fait dire "au lieu de $f$, je regarde $g$ définie par $(r,\theta) \mapsto f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ mais bon. Parfois, j'arrive à "écrire des trucs à la physicienne et à retomber sur mes pattes, mais quand je regarde en arrière, je me demande ce qui s'est passé et je m'étonne de ne pas avoir fait d'erreur (quand je n'en fais pas !).

gebrane a écrit:

Tu as bien compris, les physiciennes se contentent d'un changement de lettre pour changer le repère mais en maths on change la fonction :-D

Ha, je crois que tu viens de résumer mon problème en une phrase !

@pldx1 : Je n'ai pas compris ce que tu voulais dire, ni où tu voulais en venir.