Wronskien

Lavandes
Lavandes
dans Analyse
Bonsoir, comment montrer que si on a deux fonctions f et g (quelconques) qui sont linéairement indépendantes alors leurs wronskien peut s'annuler en certains points d'un intervalle I et non pas sur tout I. Merci

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Quelconques, c'est vite dit. Il vaut tout de même mieux qu'elles soient dérivables pour qu'on puisse calculer un wronskien.
    Ensuite, est-ce vraiment vrai ? Soit $f:x\mapsto x^2$ et $g$ définie par $g(x)=x^2$ pour $x\leq 0$ et $g(x)=2x^2$ pour $x\geq 0$ (le tout sur $\R$, bien entendu) ...
  • Math Coss
    Math Coss
    Bah, il manque juste l'hypothèse « solutions d'une même équation différentielle linéaire du deuxième ordre ».
  • gebrane
    gebrane
    Mais mathCoss, son résultat est bizarre. De mémoire si deux solutions d'une eq.diff linéaire d'ordre 2 sont linéairement indépendantes alors le W ne s'annule pas.
    Me trompe-je?
    Le 😄 Farceur


  • Amathoué
    Amathoué
    Je dirais même plus : et réciproquement!
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Et pourquoi pas l'hypothèse "$g$ ne s'annule pas" ?
  • gebrane
    gebrane
    Gabu
    Veux-tu dire quoi au juste?
    Le 😄 Farceur


  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Juste ce que j'écris : si $g$ ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ et si les fonctions $f$
    et $g$ sont linéairement indépendantes sur $I$, alors le Wronskien n'est pas identiquement nul sur $I$.
  • gebrane
    gebrane
    Merci, c'est une nouvelle pour moi
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Première remarque. L’énoncé de Gabu est faux si I n'est pas un intervalle
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Deuxième remarque. L'énoncé de Gabu se démontre par dérivation de $\frac fg$
    Le 😄 Farceur


  • Lavandes
    Lavandes
    L'énoncé de l'exercice dit que f et g sont quelconques i.e ne sont pas forcement des solutions d'une équation différentielle.
  • gebrane
    gebrane
    Dans ce cas! As-tu compris le contre-exemple de Gabu
    Je te donne un autre plus simple $f(x)=x^3,\ g(x)=|x|^3,\ I=\R$
    Le 😄 Farceur


  • Lavandes
    Lavandes
    non
  • gebrane
    gebrane
    Le mien ?
    Le 😄 Farceur


  • Lavandes
    Lavandes
    Je n'ai pas compris ce que vous cherchez à travers votre exemple !
  • gebrane
    gebrane
    Ça montre que ce que tu veux démontrer est faux
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    As-tu donné un énoncé exact, complet, dès le début du fil ?
  • gebrane
    gebrane
    Dom, On part de cet énoncé http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1884206,1884274#msg-1884274
    Mais Lavandes n'a pas compris pourquoi Gabu a supposé que g ne doit pas être nulle sur I
    Le 😄 Farceur


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