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Une intégrale en fonction de $\zeta$

Envoyé par L2M 
L2M
Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
Bonsoir

Est-ce que l'intégrale ci-dessus peut-elle s'écrire en fonction de $\zeta$ $$\int_0^{+\infty} \frac{t^{z-1}}{(e^t-1)^2} dt.

$$ Merci.
P.
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
$\Gamma(x)(\zeta(x-1)-\zeta(x))$ pour $x>2.$ En effet $\int_0^{\infty}\frac{t^{x-1}e^{-2t}}{(1-e^{-t})^2}dt=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-(2+n)t}dt.$
L2M
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
Par une intégration par partie et pour $\Re z>2$ : $$
\begin{align*}
\frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} \frac{t^{z-1}}{(e^t-1)^2} dt &=\frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} \frac{t^{z-1}e^t}{(e^t-1)^2} dt - \frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} \frac{t^{z-1}}{e^t-1} dt\\
&=-\frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-1} \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{e^t-1} \right) dt - \zeta(z)\\
&=-\frac{1}{\Gamma(z)}\left[ \frac{t^{z-1}}{e^t-1} \right]_0^{+\infty}+\frac{z-1}{\Gamma(z)} \int_0^{+\infty} \frac{t^{z-2}}{e^t-1} dt - \zeta(z)\\
&=\frac{1}{\Gamma(z-1)} \int_0^{+\infty} \frac{t^{z-2}}{e^t-1} dt - \zeta(z)\\
&=\zeta(z-1) - \zeta(z)\\
\end{align*}

$$ Merci @P.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
Plus généralement, si $f$ est une fonction arithmétique de série de Dirichlet $L(s,f)$ ayant une abscisse de convergence absolue $\sigma_a > 0$, alors pour tout $s = \sigma + it \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma > \sigma_a$, on a $$
\Gamma(s)^{-1} \int_0^\infty P( e^{-t} ) \, t^{s-1} \, \textrm{d}t = L(s,f),
$$ où l'on a posé $P(z) := \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f(n) z^n$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
Intéressant Noix de totos. Tu as une référence pour ça?
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
Je ne connais pas de référence où un énoncé aussi général existe, mais c'est une des méthodes pour aboutir à l'équation fonctionnelle de la fonction $\zeta$, il s'agit simplement d'une interversion série-intégrale, et on comprend rapidement que ça peut s'appliquer à d'autres choses que $\zeta$.
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
Effectivement, je n'ai pas de référence particulière, c'est un calcul comme expliqué par Poirot.
L2M
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
Citation

@Poirot
... mais c'est une des méthodes pour aboutir à l'équation fonctionnelle de la fonction $\zeta$, ...

Veux-tu bien préciser un peu la relation entre la relation donnée par @noix de totos et l'équation fonctionnelle ?
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
On a $$\Gamma(s) \zeta(s) = \int_0^{+\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t-1} \,dt$$ pour $\mathfrak{Re}(s) > 1$. Cette formule permet de montrer le prolongement analytique de $\zeta$ à $\mathbb C \setminus \{1\}$, pas vraiment l'équation fonctionnelle à ma connaissance. C'est détaillé ici par exemple.
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
@L2M : Certains vont peut-être encore m'accuser de "tirer le fil", mais, si tu es intéressé par les différentes méthodes pour obtenir l'équation fonctionnelle de $\zeta$, alors je te suggère de consulter le livre [Tit] pages 14-27.

L'auteur prouve cette équation fonctionnelle par $7$ méthodes, l'intégrale indiquée par Poirot ci-dessus étant la $2$nde méthode.

[Tit] [www.amazon.fr]
L2M
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
@noix de totos,

Merci, je suis vraiment intéressé.
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
avatar
Petite anecdote en passant : durant ma première L3 physique voici environ 15 ans j'avais intuité la formule donnée par Poirot à partir des valeurs pour n=2, 4 et 6 si mes souvenirs sont bons. C'était assez audacieux de ma part d'extrapoler à partir d'un si petit nombre de valeurs, aussi avais-je demandé confirmation au prof, qui n'avait pas su me répondre. C'est à peu près à cette époque que je me suis inscrit sur le forum. Fin de la parenthèse.
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
avatar
En revanche on peut peut-être avoir une idée de l'équation fonctionnelle en remarquant que $\zeta$ a un pôle simple en 1, et $\Gamma$ en $0$, le sup des $x$ tels que cette fonction a un pôle en $x$. Le fait de relier les valeurs en $0$ et $1$ d'un certain facteur fois le membre de gauche et plus avant en $s$ et $1-s$ est donc relativement "naturel", pour peu qu'on ait foi en l'harmonie du monde mathématique.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
avatar
@noix de totos : c'est une transformation de Mellin non ?
Re: Une intégrale en fonction de $\zeta$
il y a huit mois
@Sylvain : oui.
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