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Analytique: oui mais non?

Envoyé par Joaopa 
Analytique: oui mais non?
il y a deux mois
Soit $f$ analytique sur $\mathbb C\setminus\{z_0\}$. On suppose que $\lim_{z\to z_0}f(z)$ existe et est fini. Peut-on prolonger $f$ en une fonction analytique sur $\mathbb C$?
J'ai essayé de développer $f$ en série autour d'un point $z_1$ suffisamment proche de $z_0$. Ca n'a pas l'air efficace.
Re: Analytique: oui mais non?
il y a deux mois
avatar
Oui, il me semble que ça s'appelle le théorème d'extension de Riemann, qui dit que si $f$ est holomorphe sur $\Bbb C^*$ et borné autour d'un voisinage de zéro alors $f$ s'étends en fonction holomorphe sur $\Bbb C$.

La démo est ici (la page Wikipédia n'est pas en français désolé) : [en.wikipedia.org]
Re: Analytique: oui mais non?
il y a deux mois
Cool. Merci. Il me manquait le point 4 dans la démo du wiki.
Re: Analytique: oui mais non?
il y a deux mois
La démonstration c'est que $(z-z_0) f(z)$ est holomorphe partout donc par la formule intégrale de Cauchy elle est aussi analytique.

Sinon tu peux aussi dire que analytique sur $|z-z_0| > 0$ implique $$f(z) = \frac1{2i\pi} \int_{|s-z_0|=R} \frac{f(s)}{s-z}ds-\frac1{2i\pi} \int_{|s-z_0|=\epsilon}\frac{f(s)}{s-z}ds$$ comme $f$ est bornée quand $\epsilon \to 0$ la deuxième intégrale $\to 0$ et en développant $1/(s-z)$ en série géométrique tu as l'analyticité.
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