Équivalent d'une série
Bonsoir,
Dans un fil récent side s'est intéressé à une série intéressante $f(x)=\sum_{n\ge 1} \sin(nx)/\sqrt n$ avec un très joli commentaire : je ne sais pas s'il existe une méthode générale pour calculer un équivalent en 0 de la somme de la série qui a l'air bien innocente.
J'ouvre ce fil, car l'autre est encombré pour chercher des méthodes d'attaques.
De ma part , ma réflexion est de démontrer que edit $f(x)\sim \int_0^{+\infty} \sin(tx)/\sqrt t\,dt$ et il me semble qu'un équivalent est $\sqrt{\frac \pi{2x}}$
Dans un fil récent side s'est intéressé à une série intéressante $f(x)=\sum_{n\ge 1} \sin(nx)/\sqrt n$ avec un très joli commentaire : je ne sais pas s'il existe une méthode générale pour calculer un équivalent en 0 de la somme de la série qui a l'air bien innocente.
J'ouvre ce fil, car l'autre est encombré pour chercher des méthodes d'attaques.
De ma part , ma réflexion est de démontrer que edit $f(x)\sim \int_0^{+\infty} \sin(tx)/\sqrt t\,dt$ et il me semble qu'un équivalent est $\sqrt{\frac \pi{2x}}$
Le 😄 Farceur
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Réponses
- Calculer la différence entre $\displaystyle \int_{n-1}^n \dfrac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}dt$ et $\dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ à l'aide d'une IPP (intégrer $1$ en $\{t\}$ sur $[n-1;n]$, et dériver $\dfrac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}$).
- Sommer ce qu'on a obtenu et montrer que la différence entre $\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}dt$ et $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ est bornée au voisinage de $0$ (ou en tout cas négligeable devant $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
- Conclure en remarquant (changement de variable) que $\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}dt = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{\sqrt{t}}dt = \sqrt{\dfrac{\pi}{2x}}$.
Après je n'ai pas été très précis dans ma différence entre l'intégrale sur $[n;n+1]$ et $\sin(nx)/\sqrt n$. J'ai utilisé la borne qui marche pour toute fonction assez régulière. Peut-être qu'en étant plus attentif dans les majorations on peut faire mieux.
\begin{align*}
g(x) &=\lim_{K \to \infty} \sum_{|k|\le K} f(x+k) = \sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx) \int_0^1 g(t)2\sin(2\pi nt)dt \\
&= \sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx) 2\int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi nt)dt = \sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx)n^{-1/2} A,
\end{align*} où $A= 4\int_0^\infty t^{-1/2} \sin(2\pi t)dt = 4 (2\pi)^{-1/2} \sin(\pi / 4)\Gamma(1/2)$
Quand $x\in\, ]0,\epsilon[$
\begin{align*}
g(x) &=x^{-1/2}+ \sum_{k=1}^\infty (k+x)^{-1/2}-(k-x)^{-1/2}= x^{-1/2}+ \sum_{k=1}^\infty \int_{-x}^x \frac{-1}2 (k+y)^{-3/2}dy\\
& =x^{-1/2}+ \sum_{k=1}^\infty O(x k^{-3/2})=x^{-1/2}+O(x)
\end{align*} En soustrayant $\int_{-x}^x k^{-3/2}$ le $O(x)$ c'est $x 2\zeta(3/2)+ O(x^2)$,
Si on veut plus de termes alors la transformée de Mellin c'est $\zeta(1/2+s) \sin(\pi s/2) \Gamma(s)$ et $$ \sum_{n=1}^\infty \sin( nx)n^{-1/2}=O(x^M)+ \sum_{m\le M} x^m Res_{s=-m}(\zeta(1/2+s) \sin(\pi s/2) \Gamma(s)).$$
On a $|g(x)-h(x)|\leqslant \sqrt{2}$, et
\begin{align*}
|h(x)-k(x)|&\leqslant \sum_{n=1}^\infty \sup_{n-\frac{1}{2}\leqslant t\leqslant n+\frac{1}{2}} |t^{-\frac{1}{2}}-n^{-\frac{1}{2}}| \\
&\leqslant \sum_{n=1}^\infty |(n-\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}-(n+\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}|=\sqrt{2}\\
\text{donc}\hspace{2.8cm}&\\
|g(x)-k(x)|&\leqslant 2\sqrt{2}. \\
\text{De plus, }\hspace{2cm}&\\
k(x)&=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{n-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}\sin(tx)\,dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{1}{x}(\cos(n-\frac{1}{2})x-\cos(n+\frac{1}{2})x) \\
&= \frac{2\sin(x/2)}{x} f(x) = (1+O(x^2)) f(x) ,
\end{align*}
donc $f(x)=(1+O(x^2))(g(x)+O(1))=(1+O(x^2))(\sqrt{\frac{\pi}{2x}}+O(1))=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}+O(1)$.
Peux-tu expliquer les deux premières égalités de ta dernière ligne
$|k(x)-g(x)|\leq 2\sqrt{2}$, donc $k(x)=g(x)+O(1)$ et $g(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}$(voir message de Guego si tu veux des détails).
Pour la deuxième égalité, on fait le changement de variables $t=xu$ et on obtient $g(x)=g(1)/\sqrt{x}$. L'intégrale $g(1)$ est classique (intégrale de Fresnel).
$$ $g$ est $L^1_{loc}$, est impaire et $C^1$ en dehors de $\Z$ donc en dehors de $\Z$ elle est égale à sa série de Fourier $$g(x)=\sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx) 2\int_0^1 g(t)\sin(2\pi nt)dt =\sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx) 2 \int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi nt)dt=\sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx)n^{-1/2} 2A$$
D'autre part pour $x\in ]0,1[$
\begin{align*}
g(x)&=x^{-1/2}+\sum_{k=1}^\infty (k+x)^{-1/2}-(k-x)^{-1/2} \\
&= x^{-1/2}+\sum_{k=1}^\infty \sum_{m=0}^\infty {-1/2\choose m} (x^m k^{-1/2-m} - (-x)^m k^{-1/2-m})\\
&= x^{-1/2}+ \sum_{m=0}^\infty {-1/2\choose 2m+1}x^{2m+1} 2 \zeta(1/2+2m+1)
\end{align*}
Tu as trouvé quoi comme équivalent de la question du fil
edit il me semble que tu as trouvé l'equivalent $\sqrt {\frac1{2\pi x}}$ ce qui est faux.
J'ai posé cette question sur ME pour comprendre la méthode de Fourier https://math.stackexchange.com/questions/3428180/find-an-equivalent-for-séries-fx-sum-n-ge-1-frac-sinnx-sqrt-n
Je te demande gentiment de m'expliquer ce que tu as compris de la méthode de reuns
pour moi les écrits de reuns c'est de l'alchimie.
Gebrane : dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1885976,1886668#msg-1886668 j'ai donné tous les ingrédients, la convergence de la série de Fourier c'est avec le noyau de Dirichlet, pour évaluer $\int_0^\infty t^{-1/2} \sin(t)dt $ on montre que $\int_0^\infty t^{-1/2} e^{-at}dt = a^{-1/2}\Gamma(1/2)$ pour $a > 0$, par prolongement analytique pour $\Re(a) > 0$ et par continuité pour $\Re(a)\ge 0,\ a\ne 0$.
Peut être je suis le seul qui trouve des difficultés à comprendre tes écrits. Dans ta réponse, tu as donné une tonne d'affirmations qu'il faut vérifier-comprendre
et de remplacer $O(|z|^k)$ et $O(|z|^{-1-\delta})$ par "assuming everything converges".
Je me suis aussi demandé si il y a un moyen de développer $\sin(z)=\sum_k c_k z^k$ avant d'utiliser le théorème des résidus.