Équivalent d'une série
Bonsoir,
Dans un fil récent side s'est intéressé à une série intéressante $f(x)=\sum_{n\ge 1} \sin(nx)/\sqrt n$ avec un très joli commentaire : je ne sais pas s'il existe une méthode générale pour calculer un équivalent en 0 de la somme de la série qui a l'air bien innocente.
J'ouvre ce fil, car l'autre est encombré pour chercher des méthodes d'attaques.
De ma part , ma réflexion est de démontrer que edit $f(x)\sim \int_0^{+\infty} \sin(tx)/\sqrt t\,dt$ et il me semble qu'un équivalent est $\sqrt{\frac \pi{2x}}$
Dans un fil récent side s'est intéressé à une série intéressante $f(x)=\sum_{n\ge 1} \sin(nx)/\sqrt n$ avec un très joli commentaire : je ne sais pas s'il existe une méthode générale pour calculer un équivalent en 0 de la somme de la série qui a l'air bien innocente.
J'ouvre ce fil, car l'autre est encombré pour chercher des méthodes d'attaques.
De ma part , ma réflexion est de démontrer que edit $f(x)\sim \int_0^{+\infty} \sin(tx)/\sqrt t\,dt$ et il me semble qu'un équivalent est $\sqrt{\frac \pi{2x}}$
Le 😄 Farceur
Réponses
-
Je n'ai pas fait tous les calculs, mais sur le principe, ça ne devrait pas être trop compliqué :
- Calculer la différence entre $\displaystyle \int_{n-1}^n \dfrac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}dt$ et $\dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ à l'aide d'une IPP (intégrer $1$ en $\{t\}$ sur $[n-1;n]$, et dériver $\dfrac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}$).
- Sommer ce qu'on a obtenu et montrer que la différence entre $\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}dt$ et $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ est bornée au voisinage de $0$ (ou en tout cas négligeable devant $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
- Conclure en remarquant (changement de variable) que $\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}dt = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{\sqrt{t}}dt = \sqrt{\dfrac{\pi}{2x}}$. -
J'ai aussi fait quelques calculs dans la même direction que guego, je suis arrivé à une erreur en $o(x^{-1/2-\varepsilon})$ pour tout $\varepsilon>0$, donc ça ne me permet pas de conclure.
Après je n'ai pas été très précis dans ma différence entre l'intégrale sur $[n;n+1]$ et $\sin(nx)/\sqrt n$. J'ai utilisé la borne qui marche pour toute fonction assez régulière. Peut-être qu'en étant plus attentif dans les majorations on peut faire mieux. -
On peut utiliser les séries de Fourier. $f(t) = sign(t) |t|^{-1/2}$
\begin{align*}
g(x) &=\lim_{K \to \infty} \sum_{|k|\le K} f(x+k) = \sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx) \int_0^1 g(t)2\sin(2\pi nt)dt \\
&= \sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx) 2\int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi nt)dt = \sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx)n^{-1/2} A,
\end{align*} où $A= 4\int_0^\infty t^{-1/2} \sin(2\pi t)dt = 4 (2\pi)^{-1/2} \sin(\pi / 4)\Gamma(1/2)$
Quand $x\in\, ]0,\epsilon[$
\begin{align*}
g(x) &=x^{-1/2}+ \sum_{k=1}^\infty (k+x)^{-1/2}-(k-x)^{-1/2}= x^{-1/2}+ \sum_{k=1}^\infty \int_{-x}^x \frac{-1}2 (k+y)^{-3/2}dy\\
& =x^{-1/2}+ \sum_{k=1}^\infty O(x k^{-3/2})=x^{-1/2}+O(x)
\end{align*} En soustrayant $\int_{-x}^x k^{-3/2}$ le $O(x)$ c'est $x 2\zeta(3/2)+ O(x^2)$,
Si on veut plus de termes alors la transformée de Mellin c'est $\zeta(1/2+s) \sin(\pi s/2) \Gamma(s)$ et $$ \sum_{n=1}^\infty \sin( nx)n^{-1/2}=O(x^M)+ \sum_{m\le M} x^m Res_{s=-m}(\zeta(1/2+s) \sin(\pi s/2) \Gamma(s)).$$ -
Soit $g(x)=\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}\,dt$, $\displaystyle h(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{+\infty}\frac{\sin(tx)}{\sqrt{t}}\,dt$ et $\displaystyle k(x)=\sum_{n=1}^\infty \int_{n-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}\frac{\sin(tx)}{\sqrt{n}}\,dt$.
On a $|g(x)-h(x)|\leqslant \sqrt{2}$, et
\begin{align*}
|h(x)-k(x)|&\leqslant \sum_{n=1}^\infty \sup_{n-\frac{1}{2}\leqslant t\leqslant n+\frac{1}{2}} |t^{-\frac{1}{2}}-n^{-\frac{1}{2}}| \\
&\leqslant \sum_{n=1}^\infty |(n-\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}-(n+\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}|=\sqrt{2}\\
\text{donc}\hspace{2.8cm}&\\
|g(x)-k(x)|&\leqslant 2\sqrt{2}. \\
\text{De plus, }\hspace{2cm}&\\
k(x)&=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{n-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}\sin(tx)\,dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{1}{x}(\cos(n-\frac{1}{2})x-\cos(n+\frac{1}{2})x) \\
&= \frac{2\sin(x/2)}{x} f(x) = (1+O(x^2)) f(x) ,
\end{align*}
donc $f(x)=(1+O(x^2))(g(x)+O(1))=(1+O(x^2))(\sqrt{\frac{\pi}{2x}}+O(1))=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}+O(1)$. -
JLT
Peux-tu expliquer les deux premières égalités de ta dernière ligneLe 😄 Farceur -
gebrane,
$|k(x)-g(x)|\leq 2\sqrt{2}$, donc $k(x)=g(x)+O(1)$ et $g(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}$(voir message de Guego si tu veux des détails). -
$f(x)=k(x)/(1+O(x^2))=k(x)(1+O(x^2))$ et $k(x)=g(x)+O(1)$ donc $f(x)=(g(x)+O(1))(1+O(x^2))$.
Pour la deuxième égalité, on fait le changement de variables $t=xu$ et on obtient $g(x)=g(1)/\sqrt{x}$. L'intégrale $g(1)$ est classique (intégrale de Fresnel). -
Merci :-)Le 😄 Farceur
-
$f(t) = sign(t) |t|^{-1/2}$ son intérêt c'est que $\int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi nt)dt= 2 (2\pi n)^{-1/2}\int_0^\infty t^{-1/2} \sin(t)dt = n^{-1/2} A,$ où $A = 2 (2\pi)^{-1/2} \sin(\pi /4) \Gamma(1/2)$. On regarde sa 1-périodisation $$ g(x)=\lim_{K \to \infty} \sum_{|k|\le K} f(x+k)
$$ $g$ est $L^1_{loc}$, est impaire et $C^1$ en dehors de $\Z$ donc en dehors de $\Z$ elle est égale à sa série de Fourier $$g(x)=\sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx) 2\int_0^1 g(t)\sin(2\pi nt)dt =\sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx) 2 \int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi nt)dt=\sum_{n=1}^\infty \sin(2\pi nx)n^{-1/2} 2A$$
D'autre part pour $x\in ]0,1[$
\begin{align*}
g(x)&=x^{-1/2}+\sum_{k=1}^\infty (k+x)^{-1/2}-(k-x)^{-1/2} \\
&= x^{-1/2}+\sum_{k=1}^\infty \sum_{m=0}^\infty {-1/2\choose m} (x^m k^{-1/2-m} - (-x)^m k^{-1/2-m})\\
&= x^{-1/2}+ \sum_{m=0}^\infty {-1/2\choose 2m+1}x^{2m+1} 2 \zeta(1/2+2m+1)
\end{align*} -
reuns Pourquoi évites-tu ma question?
Tu as trouvé quoi comme équivalent de la question du fil
edit il me semble que tu as trouvé l'equivalent $\sqrt {\frac1{2\pi x}}$ ce qui est faux.
J'ai posé cette question sur ME pour comprendre la méthode de Fourier https://math.stackexchange.com/questions/3428180/find-an-equivalent-for-séries-fx-sum-n-ge-1-frac-sinnx-sqrt-nLe 😄 Farceur -
supp
-
supp
-
Merci side, c'est gentil.Le 😄 Farceur
-
La méthode est naturelle pour moi parce que j'ai déjà répondu à 10 questions sur l'équation fonctionnelle de $\zeta(s)$, $L(s,\chi)$, $\sum_n e^{inx}n^{-s}$ et $\sum_n (n+a)^{-s}$ qui s'obtient soit par le théorème des résidus sur $\int_C \frac{t^{s-1}}{e^{t-ix}-1}dt$ (où $C$ entoure $[0,\infty[$) soit par les séries de Fourier.
Gebrane : dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1885976,1886668#msg-1886668 j'ai donné tous les ingrédients, la convergence de la série de Fourier c'est avec le noyau de Dirichlet, pour évaluer $\int_0^\infty t^{-1/2} \sin(t)dt $ on montre que $\int_0^\infty t^{-1/2} e^{-at}dt = a^{-1/2}\Gamma(1/2)$ pour $a > 0$, par prolongement analytique pour $\Re(a) > 0$ et par continuité pour $\Re(a)\ge 0,\ a\ne 0$. -
reuns
Peut être je suis le seul qui trouve des difficultés à comprendre tes écrits. Dans ta réponse, tu as donné une tonne d'affirmations qu'il faut vérifier-comprendreLe 😄 Farceur -
supp
-
C'est une version de https://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Plana_formula
-
supp
-
Je ne sais pas si tu as vu c'est moi qui ai écrit la preuve de l'article wikipedia hier, j'ai bien vu que tu voulais l'appliquer avec $f(z) = (1+z)^{-1/2}\sin(1+z)$ qui n'est pas $O(|z|^k)$, le plus simple serait peut-être de remplacer dans l'article wiki $\int_{a^{-1}\infty}^0+\int_0^{a\infty} \frac{f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}dz$ par $-\int_{C_-}+\int_{C^+} \frac{f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}dz$ où $C_-,C_+$ sont des courbes $0\to+\infty$ juste en dessous / au dessus de l'axe réel,
et de remplacer $O(|z|^k)$ et $O(|z|^{-1-\delta})$ par "assuming everything converges".
Je me suis aussi demandé si il y a un moyen de développer $\sin(z)=\sum_k c_k z^k$ avant d'utiliser le théorème des résidus. -
supp
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres