Problème de définition d'une suite
Bonjour, je bloque sur cet exercice.
Soit $(U_n)$ une suite définie par $U_0=1,\ U_1=2$ et
$\forall n\in \mathbb{N},\ U_{n+2}=\dfrac{U_{n+1}U_n}{5U_n-6U_{n+1}}$
1) Calculer $U_n$ en fonction de $n$.
2) Calculer la limite de $U_n$.
J'ai tout réussi, sauf montrer que la suite est bien définie...
J'ai tenté de montrer que $5U_n-6U_{n+1} \neq 0$ par récurrence sans succès.
Quelqu'un aurait une idée ?
Merci
Soit $(U_n)$ une suite définie par $U_0=1,\ U_1=2$ et
$\forall n\in \mathbb{N},\ U_{n+2}=\dfrac{U_{n+1}U_n}{5U_n-6U_{n+1}}$
1) Calculer $U_n$ en fonction de $n$.
2) Calculer la limite de $U_n$.
J'ai tout réussi, sauf montrer que la suite est bien définie...
J'ai tenté de montrer que $5U_n-6U_{n+1} \neq 0$ par récurrence sans succès.
Quelqu'un aurait une idée ?
Merci
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Réponses
Cela se prouve pas récurrence.
Et l'indication de Chaurien peut être utilisée ;-).
Merci de votre aide, mais mon problème n'est pas là, j'ai déjà résolu l'exercice en supposant que la suite $U_n$ est bien définie.
Je n'arrive justement pas à montrer qu'elle est définie pour tout entier naturel...
Avez-vous une idée pour ça?
Merci
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Bonsoir Dom, merci pour votre réponse.
Quand vous parlez de la suite, vous parlez de $5U_n-6U_{n+1}$ ?
Si oui, comment avez-vous procédé dans l'hérédité de la récurrence ?
En supposant par l'absurde que $5U_{n+1}-6U_{n+2}=0$, j'obtiens $U_n=\frac{30}{19}U_{n+1}$ mais je ne vois pas comment trouver une contradiction...
ceci contredit la valeur de $u_1$
edit Homotopi tu as raison ça m'apprend à regarder en diagonale
J'ai pensé à cela, mais l'égalité n'étant vraie que pour le rang n de l'hérédité, je ne crois pas qu'on puisse utiliser le fait que $U_1=1$.
Je me trompe peut-être...
Cordialement.
Le problème est de vérifier le fait que la suite $(U_n)$ est bien définie. Si ce n'est pas le cas, je ne peux pas utiliser l'astuce de Chaurien...
Je suis peut-être mal dégourdi ce soir mais je trouve comme toi et finalement...j'y arrive, en peinant.
Soit $\ell$ un entier, on note $P(\ell)$ la propriété :
Pour tout entier naturel $k\leq \ell$, $ \qquad 5U_k - 6U_{k+1} \neq 0 \qquad$ et $\qquad U_{k+1}\neq 0$.
On démontre facilement $P(2)$.
On suppose qu'il existe un rang $n$ tel que $P(n)$.
Démontrons $P(n+1)$ :
...après quelques calculs je trouve que :
si $\qquad 5U_{n+1}-6U_{n+2}=0 \qquad$ (hypothèse qu'on souhaite fausse) alors $\qquad 19U_n=30U_{n+1}$.
Après tergiversations, c'est bon quand même car si l'on a $ \qquad 5U_k - 6U_{k+1} \neq 0 \qquad$ pour $k=n$, dans ma propriété c'est vrai aussi pour les autres entiers naturels $k$ inférieurs à $n$.
Et donc on a aussi, en reprenant les calculs : $19U_k=30U_{k+1}$ pour les entiers $k$ inférieurs à $n$.
Et ça coince avec $k=1$
Remarque :
La réponse de Gebrane était un peu trop brève sauf si la propriété $P(n)$ est présentée comme je l'ai fait.
C'est à dire pas uniquement $P(n) : 5U_n-6U_{n+1} \leq 0$ mais aussi pour les entiers inférieurs.
Ne pas oublier de rédiger que $U_{n+2} \neq 0$, ce qui est assez rapide.
Edit : Taupin de niveau 3, quelle propriété avais-tu choisi pour la preuve par récurrence ?
Dans un premier temps tu supposes que la suite existe. Tu calcules ses termes selon $n$ entier. Puis à partir de cette expression tu majores et minores les termes de la suite (à partir d’un certain rang si nécessaire). Enfin tu établis par récurrence ces majorations et minorations pour conclure que le dénominateur ne s’annule pas.
Je n’ai pas fait les calculs.
Il me semble qu'on veut démontrer que la suite existe.
La récurrence fonctionne pourtant bien.
Montrons que pour tout entier naturel $n$, $U_n \neq 0$ et $5U_{n}-6U_{n+1} \neq 0$.
C’est clair pour $n=0$.
Supposons la propriété à démontrer vraie jusqu’à un rang $n-1$, alors $U_{n+1}(5U_{n-1}-6U_n)=U_n U_{n-1}$.
Supposons que $5U_{n}=6U_{n+1}$ ou $U_n=0$,
Par hypothèse de récurrence, $U_n \neq 0$.
Alors $5U_n(5U_{n-1}-6U_n)=6U_n U_{n-1}$ de sorte que $\frac{19}{6} U_{n-1}=5U_n$.
En remplaçant dans $U_{n+1}(5U_{n-1}-6U_n)=U_n U_{n-1}$, on obtient :
$\frac{5}{6} (\frac{150}{19} U_n-6U_n)=\frac{150}{19} U_n$ ou encore:
$-\frac{625}{19}=\frac{150}{19}$, ce qui est absurde.
Bon, une façon pour faire marcher un raisonnement par récurrence
D’après le 1 tu trouves en supposant que ta suite est bien définie que $u_n=\frac 2{5.2^n-3^{n+1}}$
On va utiliser la récurrence forte suivante. Soit la propriété
$P_n$ : $u_n$ existe et $u_n=\frac 2{5.2^n-3^{n+1}}$
$P_0$ est vraie
On suppose que la propriété est vraie jusqu’à n et démontrons la pour n+1
$u_{n+1}$ existe car $5u_{n-1}-6u_n\neq 0$ ( il suffit d'utiliser l'expression de $u_n$ et $u_{n-1}$)
et par calcul tu trouves que $u_{n+1}$ égale bien à $\frac 2{5.2^{n+1}-3^{n+2}}$
@dom : non, mon raisonnement n’est pas ce que tu en dis. J’établis par récurrence que la suite existe. Je donne suite une méthode pour trouver une récurrence qui marche.
Dans ce que tu proposes j'aurais plutôt présenté comme Math Coss.
1) Si la suite existe, alors on a la formule que tu proposes.
2) On pose pour tout $n$, $u_n=\frac 2{5.2^n-3^{n+1}}$.
3) On démontre que $u_0=1$, que $u_1=2$ et qu'on a la même relation que $U$ après avoir dit que le dénominateur ne s'annulait pas.
Ha, alors je n'ai pas compris en effet.
J'ai cru que tu travaillais sous hypothèse d'existence de la suite et non que tu "établis[sais] par récurrence que la suite existe"
Ne faut-il pas tout de même démontrer que pour tout $n$, $5u_n-6_{n+1}$ est non nul pour démontrer qu'elle satisfait la bonne relation de récurrence ? Ceci pour avoir le droit d'écrire ce quotient.
Bien entendu, c'est plus simple avec la formule trouvée.
Sachant que $\frac {U_{n+2}}{U_{n+1}} =\frac 1 {5- 6\frac {U_{n+1}}{U_n}}$ , on montre par récurrence pour tout entier $n$, que $\frac {U_{n+1}}{U_n} \ne \frac 5 6$, et la suite $(U_n)$ est bien définie.
Cordialement.
personne n'a contesté quoi que ce soit. L'intéressé a donné un début de raisonnement basé sur une récurrence et il voulait le faire marcher: faire marcher son idée et non pas une indication tombée du ciel. En plus tu as clairement dit inutile de s'obstiner sur cette voie. . Comme si tu dis Il faut absolument que Taupin de niveau 3 entende raison, comprenne que la voie qu'il a empruntée est une voie sans issue mais plusieurs intervenants ont trouvés des issues
Je vous laisse jouer ...
Honnêtement, gerard0, je ne suis pas convaincu
On pose $v_n=\frac 1 {u_n}$ et sauf erreur de calcul $v_{n+2}=5v_{n+1}-6v_n$ avec $v_0=1$ t $v_1=1/2$
Mais pour démontrer que $v_n$ ne s'annule pas , c'est le même problème initiale que de démontrer que la suite $u_n$ est bien définie ( c'est à dire que $5u_n-6u_{n+1}$ ne s'annule pas.
Vois-tu mon probleme? on gagne presque rien sauf si je rate un truc que tu vois et que je ne vois pas.
Cordialement.
C'est ce que j'ai fais avec les u_n
L’indication de Chaurien est une astuce redoutable mais même après l’avoir utilisée, encore faut-il démontrer que l’on peut l’utiliser.
1) démontrer d’abord que la suite est non nulle. Au moins l’évoquer.
2) une fois utilisée, démontrer que la suite peut être écrite sous la forme originale de l’énoncé.
On ne peut pas se passer de dire que le dénominateur du quotient est non nul.
Le plan proposé par Math Coss est aussi d’une clarté implacable.
Là encore on se pose à nouveau la question de mon « 2) ».
En ce qui me concerne, il ne s’agit pas de chercher la petite bête ni de taquiner qui que ce soit mais de dénicher le diable qui se cache dans les détails.
La question de Taupin est en plus très légitime : combien d’étudiants se lancent dans des résolutions sans justifier l’existence de l’objet utilisé (existence d’une suite, d’une intégrale, d’une limite, d’une fonction etc.) ?
Ainsi, la propriété sur $n$ qu’il aurait peut-être dû démontrer est plutôt « $U_n$ et $5U_n -6U_{n+1}$ sont non nuls».
Que vaut $U_n$ ? Que vaut $U_4$ ?
Les petits échanges piquants ne sont pas malveillants et il ne s’agit pas d’engueulades bien entendu.
On démontre par récurrence que pour tout $n$, $v_{n+1}<2v_{n}$. En effet, on a la suite d'équivalences suivante $$v_{k+1}<2v_{k} \Leftrightarrow 5v_{k}-6v_{k-1}<2v_k \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow v_k<2v_{k-1}$$
Ensuite on vérifie que $v_2=-7/2$ et qu'on a bien $v_2<2v_1$. Ce qui prouve que $\forall n, v_n\neq0$.
L'exemple de Cidrolin est intéressant, peux-tu nous l'expliquer raoul.S ou Taupin 3
S’il existait un entier $n_0$ tel que $v_{n_0}=0$ alors on aurait $v_{n_0+2}=5 v_{n_0 +1} \geq 2v_{n_0 +1}$, ce qui n’est pas!
Edit : en effet gebrane j’ai mal lu la démo de Raoul! Sorry
Ceci ne suffit pas à montrer que $\forall n, v_n\neq0$ car comme le montre Cidrolin avec sa suite on a $v_4=0$.
Sauf que par chance on a pas la suite de Cidrolin mais celle de Taupin de niveau 3 pour laquelle le deuxième terme est négatif ($v_2=-7/2$) ce qui montre (explication de ma dernière ligne) que la suite $(v_n)$ est strictement négative à partir de $v_2$.
Peut-on traiter l'exercice de Taupin niveau 3 sans utiliser la suite de Chaurien ?
Le fait de voir "un produit" diviser par "une somme" me fait penser à une moyenne harmonique et comme chacun sait, ce sont les inverses qui interviennent.
ça me rappelle les exploits du Bac https://homeomath2.imingo.net/suitehg.htm
Le seul intérêt de passer par cette suite $\left (\dfrac{U_{n+1}} {U_n} \right)$, c'est qu'on prouve facilement l'existence de $(U_n)$.
Merci à tous pour vos réponses elles m'ont été très utiles. J'ai finalement suivi le raisonnement de Amathoué, car il répondait exactement à mon problème, même si les autres approches pour résoudre l'exercice qui ont été proposées sont très intéressantes !