$\mathbf R$ est complet
Bonjour,
J'ai lu une indication donnant une autre preuve du fait qu'$\mathbf R$ soit complet mais je n'arrive pas à détailler.
Soit $(u_n)_{n\in\mathbf N}$ une suite réelle de Cauchy. Il est dit qu'il suffit de poser $l:=\inf_{n\in\mathbf N}\sup_{k\geq n}u_k$ et de majorer adéquatement $|u_n-l|$. Je pense que le cours que j'ai lu ne sait pas que $l$ est la limite supérieure de $(u_n)_{n\in\mathbf N}$ ni que c'est sa plus grande valeur d'adhérence.
Déjà, comme la suite $(\sup_{k\geq n}u_k)_{n\in\mathbf N}$ est décroissante, sa limite $l=\inf_{n\in\mathbf N}\sup_{k\geq n}u_k$ existe dans $[-\infty,+\infty[$. Comme $(u_n)_{n\in\mathbf N}$ est de Cauchy, elle est bornée, donc $(\sup_{k\geq n}u_k)_{n\in\mathbf N}$ est aussi bornée donc en fait $l\in\mathbf R$.
Ensuite...
J'ai lu une indication donnant une autre preuve du fait qu'$\mathbf R$ soit complet mais je n'arrive pas à détailler.
Soit $(u_n)_{n\in\mathbf N}$ une suite réelle de Cauchy. Il est dit qu'il suffit de poser $l:=\inf_{n\in\mathbf N}\sup_{k\geq n}u_k$ et de majorer adéquatement $|u_n-l|$. Je pense que le cours que j'ai lu ne sait pas que $l$ est la limite supérieure de $(u_n)_{n\in\mathbf N}$ ni que c'est sa plus grande valeur d'adhérence.
Déjà, comme la suite $(\sup_{k\geq n}u_k)_{n\in\mathbf N}$ est décroissante, sa limite $l=\inf_{n\in\mathbf N}\sup_{k\geq n}u_k$ existe dans $[-\infty,+\infty[$. Comme $(u_n)_{n\in\mathbf N}$ est de Cauchy, elle est bornée, donc $(\sup_{k\geq n}u_k)_{n\in\mathbf N}$ est aussi bornée donc en fait $l\in\mathbf R$.
Ensuite...
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Réponses
Que veut dire " le cours que j'ai lu ne sait pas que $l$ est la limite supérieure de $(u_n)_{n\in \mathbb N}$ ??
Ma question était en effet mal posée. En fait, ma question vient d'un cours de sup où, je crois, la notion de limite supérieure est hors-programme. Mais oublions le programme si cela est gênant.
2) Soit $\epsilon>0$. Il existe $N\in\mathbf N$ tel que $l\leq\sup_{k\geq N}u_k\leq l-\epsilon/2$.
3) Pour tout $n\geq N, |u_n-l|\leq |u_n-\sup_{k\geq N}u_k|+|\sup_{k\geq N}u_k -l|$.
Ici, j'ai envie de majorer le premier terme de la somme par $\epsilon/2$ pour $n$ assez grand, ce qui sûrement licite car $(u_n)_{n\in\mathbf N}$ est de Cauchy, mais la présence du $\sup$ me gêne.
$|u_n-l|\leq |u_n-u_{\varphi(n)}|+|u_{\varphi(n)}-l|$
Je te laisse rédiger tous ça proprement.