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Théorème de Rolle généralisé

Envoyé par Gon 
Gon
Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 20:55
Bonsoir, j'aimerais savoir si mes raisonnements sont correctes et si possible j'aimerais bien avoir d'autres méthodes.

Dans un bouquin, pour un cas particulier, j'ai vu qu'on composait la fonction $f$ par une fonction $g$ et on se ramenait à un intervalle compact.
Je n'ai as compris ce raisonnement.

Énoncé:
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ édit : dérivable sur $\mathbb{R}$ tel que $f$ admet une limite $l$ en $+\infty$ et $-\infty$.

Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$



Mes raisonnements:

1er:

Si $f$ est constante , le résultat est immédiat.
Sinon , il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \neq l$.
Soit $y$ compris entre $f(x)$ et $l$.

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires aux restrictions de $f$ sur $]-\infty,x[$ et $]x,+\infty[$.

Il existe $x_{1}$ et $x_{2}$ éléments de $\mathbb{R}$ tels que $f(x_{1})=f(x_{2})=y$ et $x_{1}<x<x_{2}$.

En appliquant le théorème de Rolle à $f$ sur $[x_{1};x_{2}]$, il existe $c \in ]x_{1};x_{2}[$ tel que $f'(c)=0$.

2ème:

Si $f$ est constante, le résultat est immédiat.
Si $f$ n'est pas constante, il existe $x\in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \neq l$.

Si $f(x)<l$ ou $f(x)>l$ , alors $f$ admet un extremum global et d'après le théorème de Fermat sur les extrema locaux, il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.

Merci d'avance pour votre aide.



Modifié 4 fois. Dernière modification le 09/11/2019 21:31 par Attien.
Re: Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 21:27
avatar
Bonjour,
Il manque l'hypothèse de dérivabilité dans l'énoncé (c'est une hypothèse importante quand même spinning smiley sticking its tongue out). Le premier raisonnement est correct. Pour le deuxième je ne connais pas le "théorème de Fermat sur les extrema locaux", donc je ne sais pas si c'est correct.
Gon
Re: Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 21:29
Oui @Calli tu as raison, je l'ai omise.

Le théorème de Fermat sur les extrema locaux correspond à la condition nécessaire d'existence d'extremum local.
Dom
Re: Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 21:35
Une méthode plus classique.

Il suffit de démontrer que sur un voisinage de ce $x$ pour lequel $f(x)\neq \ell$ on peut appliquer le théorème de Rolle.
C’est à dire qu’on peut trouver $a$ et $b$ tels que $x \in ]a;b[$ et tels que $f(a)=f(b)$.

Un dessin peut donner de l’inspiration.
Re: Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 22:06
avatar
Tu écris à la fin « alors $f$ admet un extremum global... ». Ok tu vois ce qu’il se passe. Mais pourrais-tu justifier cette étape proprement?
Gon
Re: Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 22:30
@Amathoué voici une preuve:

Soit $c \in \mathbb{R}$ tel que $f(c)<l$. Il existe alors deux réels $A$ et $B$ tels que :

$ \forall x \in ]+\infty,A[ \cup ]B,+\infty[$ , $f(x)>f(c)$. ce qui implique que $ A\leq c \leq B$.

D'après le théorème du maximum appliqué à $f$ sur $[A;B]$ , il existe $d \in [A;B]$ tel que $f(x) \geq f(d)$.

Ainsi pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}$, on a $f(x) \geq f(d)$.

Donc $f$ admet un minimum.

C'est de ce résultat que je déduis ce que j'écris.

Car si $f(x)<l$ cela correspond à mon résultat et si $f(x)>l$ alors $f$ admet un maximum en appliquant le résultat précédent à $-f$
Re: Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 23:02
avatar
Citation
Attien
D'après le théorème du maximum appliqué à $f$ sur $[A;B]$ , il existe $d \in [A;B]$ tel que $f(x) \geq f(d)$.

Ainsi pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}$, on a $f(x) \geq f(d)$.

Il existe $d \in [A;B]$ tel que $\forall x\in [A;B]$, $f(x)\geq f(d)$, donc en particulier $f(c)\geq f(d)$
Alors pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a $f(x)\geq f(d)$...pour être plus clair.

Ta rédaction me semble très mature pour les questions que tu poses parfois....
Progression spectaculaire!

Sinon, « théorème de Fermat, du maximum... » je ne connais pas ces appellations.
Re: Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 23:06
avatar
À propos de rédaction mature, soyons de mauvaise foi, peux-tu expliquer ce passage:
Citation
Attien
$ \forall x \in ]+\infty,A[ \cup ]B,+\infty[$ , $f(x)>f(c)$. ce qui implique que $ A\leq c \leq B$.
Gon
Re: Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 23:30
@Amathoué , j'ai appliqué des résultats précédents de certains exercices dont voici un fil continuité.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 09/11/2019 23:34 par Attien.
Re: Théorème de Rolle généralisé
09 novembre 2019, 23:46
supp



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/06/2021 17:05 par side.
Gon
Re: Théorème de Rolle généralisé
10 novembre 2019, 00:11
l'existence des réels $A$ et $B$ provient de la définition de la limite, bon j'oubliais aussi dans ma démo précédente, le $l$ peut-être infinie par exemple $+\infty$ c'est le cas de mon exercice dans le fil continuité.

J'ai juste adapté la preuve.

je le dois à @gerard0
Re: Théorème de Rolle généralisé
10 novembre 2019, 00:30
avatar
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