Théorème de Rolle généralisé
Bonsoir, j'aimerais savoir si mes raisonnements sont correctes et si possible j'aimerais bien avoir d'autres méthodes.
Dans un bouquin, pour un cas particulier, j'ai vu qu'on composait la fonction $f$ par une fonction $g$ et on se ramenait à un intervalle compact.
Je n'ai as compris ce raisonnement.
Énoncé:
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ édit : dérivable sur $\mathbb{R}$ tel que $f$ admet une limite $l$ en $+\infty$ et $-\infty$.
Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$
Mes raisonnements:
1er:
Si $f$ est constante , le résultat est immédiat.
Sinon , il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \neq l$.
Soit $y$ compris entre $f(x)$ et $l$.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires aux restrictions de $f$ sur $]-\infty,x[$ et $]x,+\infty[$.
Il existe $x_{1}$ et $x_{2}$ éléments de $\mathbb{R}$ tels que $f(x_{1})=f(x_{2})=y$ et $x_{1}<x<x_{2}$.
En appliquant le théorème de Rolle à $f$ sur $[x_{1};x_{2}]$, il existe $c \in ]x_{1};x_{2}[$ tel que $f'(c)=0$.
2ème:
Si $f$ est constante, le résultat est immédiat.
Si $f$ n'est pas constante, il existe $x\in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \neq l$.
Si $f(x)<l$ ou $f(x)>l$ , alors $f$ admet un extremum global et d'après le théorème de Fermat sur les extrema locaux, il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.
Merci d'avance pour votre aide.
Dans un bouquin, pour un cas particulier, j'ai vu qu'on composait la fonction $f$ par une fonction $g$ et on se ramenait à un intervalle compact.
Je n'ai as compris ce raisonnement.
Énoncé:
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ édit : dérivable sur $\mathbb{R}$ tel que $f$ admet une limite $l$ en $+\infty$ et $-\infty$.
Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$
Mes raisonnements:
1er:
Si $f$ est constante , le résultat est immédiat.
Sinon , il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \neq l$.
Soit $y$ compris entre $f(x)$ et $l$.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires aux restrictions de $f$ sur $]-\infty,x[$ et $]x,+\infty[$.
Il existe $x_{1}$ et $x_{2}$ éléments de $\mathbb{R}$ tels que $f(x_{1})=f(x_{2})=y$ et $x_{1}<x<x_{2}$.
En appliquant le théorème de Rolle à $f$ sur $[x_{1};x_{2}]$, il existe $c \in ]x_{1};x_{2}[$ tel que $f'(c)=0$.
2ème:
Si $f$ est constante, le résultat est immédiat.
Si $f$ n'est pas constante, il existe $x\in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \neq l$.
Si $f(x)<l$ ou $f(x)>l$ , alors $f$ admet un extremum global et d'après le théorème de Fermat sur les extrema locaux, il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.
Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
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Bonjour,
Il manque l'hypothèse de dérivabilité dans l'énoncé (c'est une hypothèse importante quand même (:P)). Le premier raisonnement est correct. Pour le deuxième je ne connais pas le "théorème de Fermat sur les extrema locaux", donc je ne sais pas si c'est correct. -
Une méthode plus classique.
Il suffit de démontrer que sur un voisinage de ce $x$ pour lequel $f(x)\neq \ell$ on peut appliquer le théorème de Rolle.
C’est à dire qu’on peut trouver $a$ et $b$ tels que $x \in ]a;b[$ et tels que $f(a)=f(b)$.
Un dessin peut donner de l’inspiration. -
Tu écris à la fin « alors $f$ admet un extremum global... ». Ok tu vois ce qu’il se passe. Mais pourrais-tu justifier cette étape proprement?
-
@Amathoué voici une preuve:
Soit $c \in \mathbb{R}$ tel que $f(c)<l$. Il existe alors deux réels $A$ et $B$ tels que :
$ \forall x \in ]+\infty,A[ \cup ]B,+\infty[$ , $f(x)>f(c)$. ce qui implique que $ A\leq c \leq B$.
D'après le théorème du maximum appliqué à $f$ sur $[A;B]$ , il existe $d \in [A;B]$ tel que $f(x) \geq f(d)$.
Ainsi pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}$, on a $f(x) \geq f(d)$.
Donc $f$ admet un minimum.
C'est de ce résultat que je déduis ce que j'écris.
Car si $f(x)<l$ cela correspond à mon résultat et si $f(x)>l$ alors $f$ admet un maximum en appliquant le résultat précédent à $-f$ -
Attien a écrit:D'après le théorème du maximum appliqué à $f$ sur $[A;B]$ , il existe $d \in [A;B]$ tel que $f(x) \geq f(d)$.
Ainsi pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}$, on a $f(x) \geq f(d)$.
Il existe $d \in [A;B]$ tel que $\forall x\in [A;B]$, $f(x)\geq f(d)$, donc en particulier $f(c)\geq f(d)$
Alors pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a $f(x)\geq f(d)$...pour être plus clair.
Ta rédaction me semble très mature pour les questions que tu poses parfois....
Progression spectaculaire!
Sinon, « théorème de Fermat, du maximum... » je ne connais pas ces appellations. -
@Amathoué , j'ai appliqué des résultats précédents de certains exercices dont voici un fil continuité.
-
supp
-
(tu)
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Bonjour!
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