Une suite non ordinaire !

epsilon0 · November 2019

Bonjours , j'ai un problème avec cette suite :
u_n+1=1+n/u_n et u₁= 1.
Montrer que u_n=n^1/2+1/2+o(1) .

gerard0 · November 2019

Voir sur cet autre forum.

Cordialement.

Amathoué · November 2019

Gerard,

Je suis plié en quatre!!

Math Coss · November 2019

Je parierais plutôt sur $\sqrt{n}+\dfrac12+o(1)$.

gerard0 · November 2019

Amathoué,

j'espérais avoir inventé le mouvement perpétuel !

Cordialement.

Dom · November 2019

(:P)

Amathoué · November 2019

:-D

Chaurien · November 2019

Voir :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1410774,1410774#msg-1410774
Au lieu de $u_1=1$ on peut supposer $u_1>0$, ce n'est pas plus compliqué.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Chaurien · November 2019

Cet exercice a été posé à l'oral X-PC en 1997, voir RMS, janvier 1998, exercice n° 91, avec la précision : $u_1=1$. Il ne semble pas que le corrigé soit paru.
Si $u_1<-1$, alors $u_n>0$ pour $n \ge 2$, et l'on a le même résultat.
Il faudrait regarder de plus près ce qui se passe pour $u_1$ compris entre $-1$ et $0$. Déjà il y a une suite de valeurs initiales $u_1$ pour lesquelles $u_n$ n'est pas définie pour tout $n \in \mathbb N^*$. Il faudrait étudier cette suite et regarder pour les autres $u_1$.
Bonne journée. Brrr...
Fr. Ch.

side · November 2019

supp

side · November 2019

supp

bisam · November 2019

En cherchant un peu, j'ai remarqué que si on pose $u_0=1$ et \[\forall n\in\N,p_n=\prod_{k=0}^nu_k\] alors la suite $(p_n)_{n\in\N}$ vérifie $p_0=p_1=1$ et la relation de récurrence $\forall n\in\N^*,p_{n+1}=p_n+np_{n-1}$.

On retombe alors sur la suite (bien connue ?) du nombre d'involutions de l'ensemble des entiers de $1$ à $n$.

Dans l'OEIS (en lien ci-dessus), on trouve alors notamment une expression intégrale de $p_n$ $:\$ [p_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}(1+x)^n e^{-\frac{x^2}{2}}dx\] ainsi que deux expressions équivalentes à $p_n$.

Une suite non ordinaire !

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 32