Fonction de classe infinie contrainte

Joaopa · November 2019

Bonjour existe-t-il une fonction $f$ de classe $\mathscr C^\infty$ sur $\mathbb R$ telle que pour tout $x\le1,$ $f(x)=1$, $f(x)=0$ pour tout $x\ge2$ et pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $n\in\mathbb N$ $f^{(n)}(x)\ge0$. J'ai essayé de bidouiller avec la fonction $e^{-1/x^2}$ sans trop de succès. Et clairement $f$ entre $1$ et $2$ ne peut pas être analytique.

reuns · November 2019

Il y a un problème avec tes signes des dérivées. Si $f$ est
une transition lisse de $1$ à $0$ alors $F=f \ast m e^{-\pi m^2 x^2}$ est une approximation analytique de $f$ et de toutes ses dérivées et $F'$ a un minimum global strictement négatif en $c$ (donc $f'(c) < 0$) où $F^{(2k+1)}(c) > 0$ et $F^{(n)}(c)=0$ pour $0 < n < 2k+1$ ce qui implique que $F^{(2k)}$ change de signe en $c$ et donc $f^{(2k)}$ change de signe près de $c$.

Héhéhé · November 2019

Une telle fonction $f$ est croissante sur $[1,2]$, je ne vois mal comment tu pourrais avoir $f(1) = 1$ et $f(2) = 0$...

Mais même si c'est le cas où $f = 1$ sur $[2,+\infty[$ et $f=0$ sur $]-\infty,1]$, je ne pense pas que ce soit possible. Si une telle fonction $f$ existe, on a forcément $f^{(n)}(1) = f^{(n)}(2) = 0$ pour tout entier $n \geq 1$ pour avoir des raccords $\mathcal C^\infty$.

Alors
$$ 0 \leq \int_1^2 f''(t) dt = f'(2) - f'(1) = 0$$
donc $\int_1^2 f''(t) dt =0$ et comme $f'' \geq 0$ sur $[1,2]$ et $f''$ est continue sur $[1,2]$, on a $f'' = 0$ sur $[1,2]$. Cela montre que $f$ est affine sur $[1,2]$, donc aucune chance d'avoir des raccords $\mathcal C^\infty$.

Corto · November 2019

Autre façon de voir que ce n'est pas possible : absolument monotone $\implies$ analytique.

Mais comme l'a montré héhéhé il n'est pas très dur de voir que la fonction va forcément avoir un point d'inflexion ou ne pas être $C^\infty$.

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