Support d'un produit

ccapucine
ccapucine
dans Analyse
Bonjour
soient $\varphi, \psi \in \mathcal{D}(\Omega)$ où $\Omega$ est un ouvert de $\R^n$. Comment déterminer le support du produit de $\varphi$ et $\psi$: $\mathrm{Supp}(\varphi.\psi)$?
J'ai commencé par écrire la définition
$$
\mathrm{Supp}(\varphi.\psi)= \overline{ \{ x \in \Omega: \varphi(x) \psi(x) \neq 0 \}}.
$$
et après c'est quoi la suite logique?

Cordialement

Réponses

  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonsoir,
    Écris la condition $\varphi(x)\psi(x)\neq 0$ d'une autre manière...
  • gebrane
    gebrane
    L'évidence m'intrigue, je crois il y a une typo et que son produit est en fait le produit de convolution
    Le 😄 Farceur


  • ccapucine
    ccapucine
    Bonjour
    L'autre manière d'écrire $\varphi(x).\psi(x) \neq 0$ et soit: $\varphi(x) \neq 0$ et $\psi(x) \neq 0$ ou bien dire que $\varphi(x) \neq - \psi(x)$.
    Comment ca nous aide à aboutir au Support?
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Soient $a$ et $b$ des nombres réels. Alors ($ab \neq 0$) si et seulement si ($a\neq 0$ et $b\neq 0$).
  • ccapucine
    ccapucine
    oui héhéhé c'est la première ré-écriture que j'ai mis dans mon précédent post. Ma question reste toujours. Comment cela nous aide à trouver le support du produit $\psi.\psi$?
  • Cyrano
    Cyrano
    J'aimerais bien savoir comment tu passe de $\varphi(x)\psi(x) \neq 0$ à $\varphi(x) \neq -\psi(x)$. Ne serais-tu pas en train de transformer ton fois en plus ???
  • Amathoué
    Amathoué
    Paraphrase de Héhéhé et PM:

    $\overline{ \{ x \in \Omega: \varphi(x) \psi(x) \neq 0 \}}= \overline{ \{ x \in \Omega: \varphi(x) \neq 0 \text{ et } \psi(x) \neq 0 \}}=...$
  • ccapucine
    ccapucine
    Oui Cyrano dsl j'ai fait une erreur.
    Donc $\varphi(x) \neq 0$ et $\psi(x) \neq 0$ implique que $x \in Supp(\varphi)$ et $x \in Supp(\psi)$ donc $x \in Supp(\varphi) \cap Supp(\psi)$. On a ainsi démontré l'inclusion $Supp(\varphi.\psi) \subset Supp(\varphi) \cap Supp(\psi)$.
    La question est: est ce que c'est suffisant? Est-ce qu'on ne pourrait pas obtenir la deuxième inclusion?

    Bien cordialement
  • gebrane
    gebrane
    Mal démontré. Cherche un contre pour l'autre inclusion . En général on a seulement l'inclusion $\overline{A\cap B}\subset \overline{A}\cap\overline{B}$
    Le 😄 Farceur


  • side
    side
    supp
  • ccapucine
    ccapucine
    Bonjour
    j'ai deux autres question.
    1. Je cherche $Supp (\varphi+\psi)$ et je trouve que $Supp(\varphi+\psi) \subset \overline{Supp (\varphi) \cup Supp (\psi)}$ (en utilisant que $\varphi(x) + \psi(x) \neq 0$ implique que $\varphi(x) \neq 0$ ou $\psi(x) \neq 0$. On a aussi $\overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}$? Et est ce qu'on peut espérer obtenir la deuxième inclusion?

    2. Si $\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont deux ouverts de $\R^n$ tels que $\Omega_1 \subset \Omega_2$ et si $\varphi_1 \in \mathcal{D}(\Omega_1)$ et $\varphi_2 \in \mathcal{D}(\Omega_2)$alors comment montrer que $Supp(\varphi_1) \subset Supp(\varphi_2)$?

    Cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    1) Que se passe-t-il si les fonctions sont des opposées ?
    2) tu es sûre que c'est vrai ?

    Cordialement.
  • ccapucine
    ccapucine
    @Gerard.
    1. Oui c'est exact. Mon implication est alors fausse. Alors quelle idée utiliser?
    2. pour le deux ce résultat a été donné au cours et je n'en suis pas convaincu. On n'a donc pas cette inclusion?

    Cordialement
  • gerard0
    gerard0
    1) Je n'ai pas remis en cause ton implication. Seulement répondu à ta dernière phrase. Ton inclusion est correcte (en dehors des supports des deux fonctions, elles sont toutes deux nulles donc leur somme aussi).

    2) Suppose $\varphi_2$ nulle et pas $\varphi_1$. Il y a sans doute autre chose dans ton cours.

    Cordialement.
  • ccapucine
    ccapucine
    pour le 2 si on suppose que $\varphi_1$ et $\varphi_2$ ne sont pas nuls? Alors c'est ok?
  • gerard0
    gerard0
    Ça ne change rien.

    Pour n=1, si $\Omega_1 = [1,2],\ \Omega_2 = [1,3],\ supp(\varphi_1) = [1,3;1,5],\ supp(\varphi_1) = [2,3;2,5]$, la relation entre les supports est fausse.
    Elle ne peut avoir de sens que si $\varphi_1$ et $\varphi_2$ ont un lien.

    C'est bizarre que tu ne concrétises pas cela immédiatement avec des petits dessins de fonctions nulles en dehors de certains intervalles. C'est quand même une notion assez intuitive (pour les cas simples, par exemple des fonctions continues, on prend partout où la fonction est non nulle et les nombres où ça devient nul) sauf pour des fonctions très discontinues. Et si ce sont des fonctions test, c'est aussi très simple à visualiser.

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    Le 1) est vraie sans adhérence
    $\overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}$ est faux
    Le 😄 Farceur


  • ccapucine
    ccapucine
    Je reprends.
    pour le 1. Calculer $Supp(\varphi + \psi)$. Par définition, on a:
    $$
    Supp(\varphi + \psi)= \overline{ \{x \in \Omega: \psi(x)+ \varphi(x) \neq 0\} }
    $$

    à partir de là, comment continuer jusqu'à l'inclusion dans $Supp(\varphi) \cup Supp(\psi)$? Ou bien ce n'est pas possible est la seule manière de raisonner et de dire que: comme en dehors des deux deux supports, la somme est complétement nulle, alors on a: $Supp(\psi + \varphi) \subset Supp(\psi) \cup Supp(\varphi)$?

    Pour le 2. Oui cela me semble faux avec un dessin. Ma question est: quand est-ce qu'on peut dire que si $\Omega_1 \subset \Omega_2$ et $\varphi_1 \in \mathcal{D}(\Omega_1)$ et $\varphi_2 \in \mathcal{D}(\Omega_2)$ alors $Supp(\varphi_1) \subset Supp(\varphi_2)$?

    Cordialement
  • gebrane
    gebrane
    Pour la 2 si par exemple $0\leq \varphi_1\leq \varphi_2$ au lieu de l'inclusion des Omega
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    Pour que $Supp(\varphi_1) \subset Supp(\varphi_2)$, il suffit que $\Omega_1$ soit contenu dans le support de $\varphi_2$, par exemple.
    Tu devrais revoir avec ton prof le passage en question pour savoir ce que tu as raté ...

    Cordialement.
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