EDP : séparation des variables

MrJ
MrJ
dans Analyse
Bonjour,
je suis en train de rédiger un problème sur l'équation des ondes unidimensionnelle pour mes étudiants. Je rencontre une difficulté pour la rédaction d'un passage concernant les solutions à variables séparées.

Classiquement, on commence par déterminer les solutions de la forme $f(x,t)=g(x)h(t)$ où $g$ et $h$ sont des fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ définies sur $\mathbb{R}$. En injectant dans l'équation des ondes (simplifiée pour ma question), on obtient une relation de la forme \[
\forall (x,t)\in \mathbb{R}^2,\quad g''(x)h(t)=g(x)h''(t).
\] Est-il possible d'en déduire rigoureusement et simplement l'existence d'une constante $K\in\mathbb{R}$ telle que \[
\forall (x,t)\in \mathbb{R}^2,\quad g''(x)=K g(x)\quad\text{et}\quad h''(t)=K h(t)\quad?
\] Tous les arguments que je lis dans divers ressources sont basés sur une division par $g(x)$ et $h(t)$ sans se soucier que ces quantités puissent s'annuler a priori.
Merci pour votre aide !

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si $g(x)=0$, on sait résoudre $g”(x)h(t)=0.$

    Pour $g(x)\neq 0$, on sait résoudre $g”(x)h(t)=h”(t)g(x)$ en $h(t)=A \exp(i g”(x) t/g(x))+...$ et comme la fonction ne dépend que de $t$ il faut $g”(x)/g(x)=K.$

    Et de même en $x$ pour trouver $g.$
  • MrJ
    MrJ
    Merci YvesM, je n'avais pas pensé à raisonner de cette manière (en passant par la résolution d'une équation différentielle).
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