Racines

Merci @Calli , effectivement je savais que la démonstration allait être très longue :-(, merci pour cette idée :-D

Méthode 1:

Posons $P(X)=X^{n}+pX+q$.

$P$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$, on a donc $P'(X)=nX^{n-1}+p$ et $P''(X)=n(n-1)X^{n-2}$.

Suivant la parité de $n$ on a :

-$n$ est pair:

$\forall x \in \mathbb{R}$ $P''(X) \geq 0$ donc $P'$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $P'$ tend vers $-\infty$ au voisinage de $-\infty$ et vers $+\infty$ au voisinage de $+\infty$ alors d'après le théorème de la bijection , $P'$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$. Dans la suite on notera $x_{p}$ le zéro de $P'$.

$P$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;x_{p}[$ et $P$ est strictement croissante sur $]x_{p};+\infty[$.

Conclusion : $P$ admet au plus 2 racines réelles distinctes dans $\mathbb{R}$ (une racine sur chacun des intervalles précédents).

-$n$ est impair:

si $p$ est positif , alors $P$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tend vers $-\infty$ au voisinage de $-\infty$ et vers $+\infty$ au voisinage de $+\infty$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $P$ s'annule une seule fois sur $\mathbb{R}$.

si $p$ est négatif, en notant $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $P'$ avec $x_{1} <x_{2}$, on constante que $P$ est strictement croissante sur

les intervalles $]-\infty,x_{1}]$,$[x_{2};+\infty[$ et strictement décroissante sur $[x_{1};x_{2}]$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires $P$ s'annule au plus une fois sur chacun des intervalles.

Ah ok j’avais opté pour la méthode de @Yves

@Calli, je peux procéder par l'absurde, en supposant que la fonction admet au moins 4 racines réelles distinctes , donc en appliquant le théorème de Rolle à $P$ on constate que la fonction dérivée s'annule au moins 3 fois et de même on constate que la fonction dérivée seconde s'annule à son tour au moins 2 fois ce qui est absurde car son expression est de la forme : $n(n-1)X^{n-2}$.