Toute fonction convexe admet une limite

Si $f$ est décroissante, alors elle a une limite en $+\infty$.

Sinon, il existe $a < b$ tels que $f(a) < f(b)$, et alors...

supp

Croissance du taux d'accroissement il faudrait être un peu plus précis : accroissement entre quoi et quoi ? Parce que pour moi il y a par défaut deux variables (les abscisses des deux points en lesquels tu calcules le taux d'accroissement) et donc parler de croissance pour une fonction de deux variables c'est moins simple.

Par ailleurs, il est faux que le taux d'accroissement s'annule au plus une fois. La fonction peut avoir un intervalle de minima. Typiquement la fonction nulle aura un taux d'accroissement nul partout et elle est bien convexe. Mais il n'est pas faux que la fonction est, au voisinage de l'infini, soit strictement croissante, soit strictement décroissante, soit constante.

Supposons qu'il existe $x<y$ avec $f(x)< f(y)$. Tu sais que la fonction est au dessus de la corde qui joint $(x,f(x))$ et $(y,f(y))$ après $y$ en raison de la croissance du taux d'accroissement entre $y$ et un point arbitraire. Cela te permet de minorer $f(z)$, pour $z>y$, par quelque chose qui tend vers $+\infty$.

Regarde ensuite le cas où il existe $x<y$ avec $f(x)= f(y)$ pour tout $(x,y)$. Toujours avec l'argument précédent $f(z) \geq f(y)$ si $z>y$. Que se passe t-il s'il y a toujours égalité ? Et sinon ?

Il ne reste alors que le cas où $x<y$ implique $f(x)>f(y)$, et donc la fonction est partout strictement décroissante.

Une fonction convexe sur n'importe quel intervalle est : ou bien croissante, ou bien décroissante, ou bien décroissante puis croissante. D'où l'existence de la limite, finie ou + ou - l'infini selon les cas.