Densité par rapport à la mesure de comptage

Bonjour
Prenons $X:(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\longrightarrow(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ une variable aléatoire.
On dit qu'elle est discrète si sa loi $\mathbb{P}_X$ est une mesure à densité par rapport à la mesure de comptage $m$ sur $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$.

Pourquoi cette définition entraîne-t-elle que l'ensemble $Val(X)=\{x\in\mathbb{R}^d \mid\mathbb{P}(X=x)\neq 0\}$ est au plus dénombrable ?
C'est plus général que de dire que $X(\Omega)$ est au plus dénombrable, non ?

Si on adopte la définition ci-dessus, il doit exister une densité $f$ (qui devra être définie sur $\mathbb{R}^d$ par $f(x)=\mathbb{P}(X=x)$) telle que $$\forall A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d),\quad\mathbb{P}_X(A)=\int_{\mathbb{R}^d} f\mathbb{1}_A \text{d}m.

$$ Et comment retrouver que dès lors $$\mathbb{P}_X=\sum_{x\in Val(X)} \mathbb{P}(X=x)\delta_x,$$ où $\delta_x$ est la mesure de Dirac en $x$ ?
Je sais que les $\int$ se transforment en $\sum$ si on intègre par rapport à la mesure de comptage, mais ne faut-il pas que les domaines d'intégration soient dénombrables ?