Densité par rapport à la mesure de comptage
Bonjour
Prenons $X:(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\longrightarrow(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ une variable aléatoire.
On dit qu'elle est discrète si sa loi $\mathbb{P}_X$ est une mesure à densité par rapport à la mesure de comptage $m$ sur $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$.
Pourquoi cette définition entraîne-t-elle que l'ensemble $Val(X)=\{x\in\mathbb{R}^d \mid\mathbb{P}(X=x)\neq 0\}$ est au plus dénombrable ?
C'est plus général que de dire que $X(\Omega)$ est au plus dénombrable, non ?
Si on adopte la définition ci-dessus, il doit exister une densité $f$ (qui devra être définie sur $\mathbb{R}^d$ par $f(x)=\mathbb{P}(X=x)$) telle que $$\forall A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d),\quad\mathbb{P}_X(A)=\int_{\mathbb{R}^d} f\mathbb{1}_A \text{d}m.
$$ Et comment retrouver que dès lors $$\mathbb{P}_X=\sum_{x\in Val(X)} \mathbb{P}(X=x)\delta_x,$$ où $\delta_x$ est la mesure de Dirac en $x$ ?
Je sais que les $\int$ se transforment en $\sum$ si on intègre par rapport à la mesure de comptage, mais ne faut-il pas que les domaines d'intégration soient dénombrables ?
Prenons $X:(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\longrightarrow(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ une variable aléatoire.
On dit qu'elle est discrète si sa loi $\mathbb{P}_X$ est une mesure à densité par rapport à la mesure de comptage $m$ sur $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$.
Pourquoi cette définition entraîne-t-elle que l'ensemble $Val(X)=\{x\in\mathbb{R}^d \mid\mathbb{P}(X=x)\neq 0\}$ est au plus dénombrable ?
C'est plus général que de dire que $X(\Omega)$ est au plus dénombrable, non ?
Si on adopte la définition ci-dessus, il doit exister une densité $f$ (qui devra être définie sur $\mathbb{R}^d$ par $f(x)=\mathbb{P}(X=x)$) telle que $$\forall A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d),\quad\mathbb{P}_X(A)=\int_{\mathbb{R}^d} f\mathbb{1}_A \text{d}m.
$$ Et comment retrouver que dès lors $$\mathbb{P}_X=\sum_{x\in Val(X)} \mathbb{P}(X=x)\delta_x,$$ où $\delta_x$ est la mesure de Dirac en $x$ ?
Je sais que les $\int$ se transforment en $\sum$ si on intègre par rapport à la mesure de comptage, mais ne faut-il pas que les domaines d'intégration soient dénombrables ?
Réponses
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Une famille sommable est à support dénombrable, tu en déduis donc que $f$ est à support dénombrable.
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D'accord merci, donc en fait la famille $\{\mathbb{P}(X=x)\}_{x\in\mathbb{R}^d}$ n'est clairement pas dénombrable.
Mais comme c'est une famille de nombres positifs, on peut écrire sans soucis $\sum_{x\in\mathbb{R}^d}\mathbb{P}(X=x)$ (quantité a priori infinie, sauf qu'en fait vu que $\mathbb{P}_X$ est une mesure de probabilité, cette somme égale $1$)
Donc cette famille est sommable (de somme $1$) et donc son support $Val(X)$ est nécessairement dénombrable.
Admettons maintenant que l'on veuille retrouver l'expression de la densité $f$. Si on remplace $A$ par le borélien $\{x\}$ dans l'identité écrite dans mon précédent message, le membre de gauche est $\mathbb{P}(X=x)$ par définition, et le membre de droite est $\int_{\mathbb{R}^d} f\mathbb{1}_{\{x\}}\text{d}m=\int_{\{x\}}f\text{d}m$. Comment justifier rigoureusement que c'est bien $f(x)$ ?
Et comment retrouver le lien avec les Dirac? -
Eh bien, en notant que le support de $f$ est $Val(X)$, on a pour tout borélien $$\mathbb P_X(A) = \int_A f \,dm = \int_{A \cap Val(X)} f dm = \sum_{A \cap Val(X)} f(x),$$ et on retrouve l'écriture avec des Dirac. Tout le jeu est de se ramener à quelque chose de dénombrable, ce qui est automatique une fois qu'on sait que le support de $f$ est dénombrable.
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Oui, ok, merci.
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