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Bonjour,

Par somme télescopique on a $w_n$ selon $u_k$ pour $k=1,...,n$.

Amusant. Des expériences numériques suggèrent que la somme est proportionnelle à $u_1$ et que pour $u_1=1$, elle vaut $\mathrm{e}-1$.

J'arrive à $S_n=e^{u_1}-1-e^{u_{n+2}}v_{n+1}$, où $v_k=u_1 \dots u_k$ et $S_n = \sum_{k=1} ^n v_k$.
On peut montrer que $u_n$ tend vers 0, et il me semble que par conséquent $v_n$ aussi.
La somme serait donc $e^{u_1}-1$

supp

supp

Bonjour,

Effectivement, après plus de deux heures à merder, je trouve comme @crapul.

De $\displaystyle u_1e^{u_2}=e^{u_1}-1$ et $\displaystyle u_2e^{u_3}=e^{u_2}-1$ on tire $\displaystyle u_1=u_1e^{u_2}-u_1u_2e^{u_3}.$
De même, de $\displaystyle u_3e^{u_4}=e^{u_3}-1$ on tire $\displaystyle u_2=u_2e^{u_3}-u_2u_3e^{u_4}.$ On a alors une simplification en multipliant cette dernière équation par $u_1$ et en sommant avec la première relation : $\displaystyle u_1+u_1u_2=u_1e^{u_2}-u_1u_2u_3 e^{u_4}.$

On généralise aisément, pour tout $n\geq 1$ : $\displaystyle u_1+u_1u_2+\cdots +u_1u_2...u_n=u_1e^{u_2}-u_1u_2...u_{n+1}e^{u_{n+2}}.$

On se rassure avec une démonstration par récurrence de cette relation.

On étudie la fonction $\displaystyle f:x\mapsto \ln{e^x-1\over x}$ pour $x>0$. On montre alors que $\displaystyle 0<f(x)<x$ et donc, puisque $\displaystyle u_{n+1}=f(u_n)$, la suite $u$ est bornée et décroissante donc convergente.
La limite $\ell$ est solution de l’équation $\ell=f(\ell)$ dont l’unique solution est $0$ (qu’on démontre par l’étude de la fonction).

On note $\displaystyle v_n=u_1u_2...u_n>0$ et on a donc $\displaystyle {v_{n+1}\over v_n}=u_{n+1}\to 0,(n\to +\infty).$ On sait donc qu’il existe $0<a<1$ tel que, pour $n$ assez grand, $\displaystyle {v_{n+1}\over v_n}\leq a$ et donc $\displaystyle v_{n}\leq a^{n-1} v_1\to 0,(n\to +\infty).$

On a donc démontré que $\displaystyle u_1+u_1u_2+\cdots+u_1u_2...u_n\to u_1e^{u_2}=e^{u_1}-1,(n\to +\infty).$