Définition d'une solution d'une EdP

Comme je l'indiquais dans un autre poste pour une autre question, je rédige un devoir pour mes étudiants portant sur la résolution (rigoureuse) de l'équation des ondes.

On souhaite déterminer les fonctions $u:[0,1]\times \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ vérifiant \[
\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}\qquad (E)\]
avec les conditions initiales
\[\forall x\in [0,1],\quad u(x,0)=p(x)\quad\text{et}\quad \dfrac{\partial u}{\partial x}(x,0)=q(x).\qquad (CI)

\] Mon problème : Toutes les ressources que j'ai pu consulter restent très floues sur la régularité de $u$. Dans tous les cours que j'ai eu l'occasion de voir (même ceux portant sur les EdP), les dérivées partielles sont toujours définies pour une application définie sur un ouvert. J'aurais donc tendance à considérer que l'on demande que l'équation (E) soit vérifiée sur $]0,1[\times\mathbb{R}_+^\ast$, mais cela pose deux problèmes.
- Le comportement de $u$ à l'intérieur du domaine n'a pas de lien avec son comportement au bord sans hypothèse supplémentaire (Peut-être faut-il demander que $u$ soit continue sur le domaine complet ?).
- Quelle sens donner à la seconde condition de (CI) ? La dérivée partielle est considérée sur un point au bord du domaine.

Au vue des remarques ci-dessus, j'ai l'impression qu'il vaut mieux étendre la définition des dérivées partielles sur une partie non nécessairement ouverte (vue la régularité du domaine, je ne pense pas que cela pose de problèmes) et considérer que l'on cherche une solution $u$ de classe $C^2$ sur $[0,1]\times \mathbb{R}_+$.

Quelqu'un avec plus de connaissances sur ces sujets pourrait-il m'indiquer si c'est dans ce sens qu'il faut raisonner.