Limite d'une fonction (presque) compliquée
dans Analyse
Bonjour
Pouvez-vous m'aider à calculer la limite de la fonction suivante. $$
\lim_{n \to + \infty}\int_{-\sqrt n} ^{\sqrt n} \left(1 + \frac t {\sqrt n} \right)^n e^{-t\sqrt n} dt.
$$ Dois-je calculer l'intégrale en l'appliquant aux bornes puis calculer la limite ? Si oui, je n'arrive pas à intégrer cette fonction.
Merci bien.
Pouvez-vous m'aider à calculer la limite de la fonction suivante. $$
\lim_{n \to + \infty}\int_{-\sqrt n} ^{\sqrt n} \left(1 + \frac t {\sqrt n} \right)^n e^{-t\sqrt n} dt.
$$ Dois-je calculer l'intégrale en l'appliquant aux bornes puis calculer la limite ? Si oui, je n'arrive pas à intégrer cette fonction.
Merci bien.
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Réponses
Mais il doit y a une solution plus simple : changement de variable $t=\sqrt{n}x$ puis estimation de $\log (( 1+x)^{n^2} e^{-n^2 x}\sqrt{n}) $.
Moi je proposerais de chercher la limite de $\displaystyle n\mapsto\mathrm{e}^{n\log(1+\frac t{\sqrt n})-t\sqrt n}$ puis d'essayer le théorème de domination.
$I_n= \displaystyle \int_{-\sqrt n}^{\sqrt n} \left (1 + \frac t{\sqrt n}\right )^n \mathrm e^{-t\sqrt n} \mathrm d t= \sqrt n J_n\:\:\quad\text{où}\:\:\quad J_n =\int _{-1}^{1} \Big((1+x) \mathrm e ^{-x}\Big) ^n \mathrm d x.$
Le problème est donc de déterminer un équivalent de $J_n$ et le théorème suivant donne une réponse à la question posée.
Soient $a,b \in \R,\:\:a<0<b , \:\:f$ une fonction $[a;b]\longrightarrow \R^+$ de classe $\mathcal C^2$ telle que: $\forall x \in [a;b] \setminus \{0\}, \:\: f(x)<f(0), \:\: f ''(0) \neq 0 .\:\:$ Alors: $$\:\:\:\boxed {\displaystyle \int_a^b f^n \underset {n\to+\infty} {\sim} f(0)^n\: \sqrt {\dfrac{-2\pi f(0)}{n f''(0)}}.}$$
Appliqué à $\:a=-1,\: b=1 \:\:$ et à la fonction $f : \: x\longmapsto (1+x)\mathrm e^{-x},\:\:$ ce théorème donne: $$\quad \displaystyle \lim_{n\to + \infty} I_n = \sqrt {2\pi}.$$
On en obtient une en utilisant l'inégalité : $\ln(1+x)\leq x-\dfrac{x^2}4$ pour $-1<x\leq1$.
Encore une dernière question, comment justifier ceci : $$
\frac {\Gamma(n+1)}{e^{-n}n^{n+\frac 1 2}} \underset{{n \to \infty}}\sim \int_{-\sqrt n} ^{\sqrt n} \Big(1 + \frac t {\sqrt n} \Big)^n e^{-t\sqrt n} dt.
$$ En sachant que $\int_{2n}^{\infty} t^n e^{-t}\ dt = o(\Gamma(n+1))$ et sans utiliser la formule de Stirling ?
$\int_{0}^{2n} u^n e^{-u} du \le \int_{2n}^{\infty} u^n e^{-u} du$ ?