Théorème de convergence dominée
Bonjour,
pour le théorème de convergence dominée, pourquoi faut-il prendre la valeur absolue de l'intégrande pour l'hypothèse de domination ?
C'est-à-dire pourquoi faut-il $|f(x,t)| \leq \phi(t) $ et pourquoi $f(x,t) \leq \phi(t) $ ne suffit pas ?
À cause de la définition de l'intégrabilité peut-être...?
Merci.
@AD: je ne peux écrire la fin de mon titre :-S
[Le début suffit amplement. ;-) AD]
pour le théorème de convergence dominée, pourquoi faut-il prendre la valeur absolue de l'intégrande pour l'hypothèse de domination ?
C'est-à-dire pourquoi faut-il $|f(x,t)| \leq \phi(t) $ et pourquoi $f(x,t) \leq \phi(t) $ ne suffit pas ?
À cause de la définition de l'intégrabilité peut-être...?
Merci.
@AD: je ne peux écrire la fin de mon titre :-S
[Le début suffit amplement. ;-) AD]
Réponses
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Un exemple idiot : $f(x,t)=-t$ pour $(x,t)\in\R\times\R^+$ et $\phi(t)=0$.
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Car il existe des fonctions négatives.
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Ah oui évidemment !
Mais si on prend $f(x,t)=\frac{\sin(t)}{t}$ , l'intégrale est semi-convergente,mais on ne peut pas appliquer le théorème de convergence dominée c'est bien ça ? -
Tu comptes calculer quelle limite d'intégrale exactement avec cette fonction-là ? Et tu l'as dit toi-même, cette fonction n'est pas intégrable de toute façon.
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Je ne compte pas calculer de limite, je me posais la question dans l'absolu pour bien comprendre cette hypothèse :-)
J'ai déjà appliqué 100 fois le TCD mais sans bien comprendre les hypothèses c'est idiot 8-) -
Heu ... reprendre la démonstration du théorème point par point permet de voir où les hypothèses interviennent.
Cordialement. -
Une démonstration suffit. Et la "bonne" démonstration, c'est celle que tu construis dans ta tête en étudiant une démonstration.
Cordialement. -
Cher totem, un très bon exercice est de démontrer le théorème dans le cas des séries.
Soient $a$ une suite de fonctions $E \to \mathbb R$, où $E$ est un ensemble muni d'une notion de limite, et $\sum_n b_n$ une série de réels convergente.
On suppose que :- $\forall n \in \mathbb N,\ \lim_x a_n(x) = 0$ ;
- $\forall n\in \mathbb N,\forall x \in E,\ |a_n(x)| \leq b_n$ ;
Tu constateras d'ailleurs qu'on peut affaiblir l'hypothèse de domination : il suffit d'avoir $\sup_{x\in E} \sum_{n=p}^{+\infty} |a_n(x)| \xrightarrow[p\to\infty]{} 0,$ ce qui se généralise aussi avec les intégrales. -
Je voulais juste dire qu'on peut prendre au choix $E = \mathbb N$ avec les limites en $+\infty$, ou une partie de $\mathbb R$ et les limites en un réel, etc.
Bien vu pour le lien avec la convergence uniforme (absolue) de la série de fonctions ! La généralisation aux intégrales est ce qu'on appelle l'intégrabilité uniforme.
Pour en revenir au sujet : vois-tu aussi à quelle condition de convergence classique correspond la domination ? -
@Simeon: la domination me fait penser à une sorte de convergence uniforme version "continu" , sauf que là on n'est plus sur un segment...? je ne sais pas.
Intégrabilité uniforme :
J'essaie de transposer naïvement : $\sup_{x\in E} \int_{t=p}^{+\infty} |f(x,t)| dt \xrightarrow[p\to\infty]{} 0$ ?? -
La domination pour les séries de fonctions n'est rien d'autre que la convergence normale !
Ta définition de l'intégrabilité uniforme sur $[0;+\infty[$ est correcte pour les fonctions continues par morceaux. Je t'ai mis en lien Wikipedia pour la définition générale dans un espaces mesuré. -
Ah d'accord !! j'aurais du y penser ! :-(
En effet dans les 2 cas ce que l'on somme ou intègre ne dépend pas de $x$...
D'ailleurs pourquoi ne prend-on/cherche-t-on pas le $sup |f(x,t)|$ pour la domination ...ou alors on le fait mais c'est rarement dit !
J'ai vu ton lien mais 1) le cadre des espaces mesurés est trop abstrait pour moi pour l'instant 2) c'est en anglais :-D
Autre question : est-ce que le théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions et le théorème d'intégration terme à terme sont 2 théorèmes distincts ou bien s'agit-il d'un seul et même théorème ( avec 2 noms différents) ? -
Personne ? Voyons !
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Le théorème d'intégration terme à terme c'est plutôt du Fubini.
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Oui c'est ça. L'hypothèse "la série $\sum_n \int |f_n|$ converge" correspond à l'hypothèse d'intégrabilité dans le théorème de Fubini. L'une des mesures est la mesure de comptage, l'autre la mesure de Lebesgue.
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Effectivement c'est Fubini qui donne le cas général. L'intégration terme à terme d'une série de fonction se montre facilement à partir de la convergence dominée pour la suite des sommes partielles. Mais dans l'autre sens c'est beaucoup moins clair... Les hypothèses ne correspondent pas.
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Ces 2 théorèmes se ressemblent beaucoup .Donc le théorème de convergence dominée est en "amont" dans la théorie ?
Fubini => convergence dominée => intégration terme à terme ?
Il y a le théorème de convergence monotone aussi :-D -
Le tcd peut être plus adapté lorsqu'on sait majorer les sommes partielles sans majorer terme à terme, là où Fubini réclame une vraie intégrabilité dans l'espace produit.
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Beh c'est ça sauf que définir les tribus et mesures sur l'espace produit partant de deux espaces mesurés donnés c'est pas une mince affaire, ça demande toute une theorie qui aboutit à Fubini.
L'intégrabilité dans l'espace produit RxN demande que les intégrales des sommes des valeurs absolues convergent (Fubini). Le tcd demande qu'on puisse dominer les sommes partielles indépendamment de n. Typiquement, si on intègre des sommes de exponentielles complexes le tcd nous sauve et pas Fubini. -
Euh non totem, dans la théorie classique c'est le théorème de convergence dominée qui se place en amont de l'intégration des séries de fonctions et de Fubini. Et classiquement on obtient la convergence dominée à partir de la convergence monotone.
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Ok merci.
Donc le plus en amont est la convergence monotone ? -
Oui.
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Et en amont de la convergence monotone y a-t-il quelque chose ? ;-)
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La théorie de la mesure, et la définition de l'intégrale d'une fonction mesurable positive.
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Existe-t-il un théorème de convergence dominée version "discrète séries de fonctions" ?
Attention je ne parle pas du théorème de convergence dominée pour les séries où l'on intervertit série et intégrale.
Là on remplace l'hypothèse de domination par une "hypothèse de convergence normale" (merci Siméon ;-) )
Je m'inspire de mon bouquin et je tente.
Soit $f_n(x)$ une suite de fonctions définie sur $I$, $f_n$ converge simplement sur $I$ vers $g_n$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
- Il existe une suite $u_n$ positive, sommable sur $I$ telle que : $\forall n \in N,\ \forall x \in I, \ |f_n(x)| \leq u_n.$
- Alors quelque soit $x \in I$ ,$f_n$ est sommable sur $N$ et la suite $\sum_\N f_n$ converge vers $\sum_\N g_n$ quand $x$ tend vers $+\infty$ : $$
\lim_{x \to +\infty} \sum_\N f_n(x) = \sum_\N \lim_{x \to +\infty}f_n(x)=\sum_\N g_n$$
Si je vous demande ça,c'est parce que j'essaie de résoudre l'exercice suivant :
Trouver un équivalent de $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2x^2}$$ quand $x\to +\infty$ -
Ça veut dire quoi qu'une suite est sommable sur $I$ ? Sinon oui il existe un théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions, c'est juste le théorème de convergence dominée usuel pour la mesure de comptage.
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Cela veut juste dire que la somme des termes de la suite converge.
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Je ne comprends pas la différence que tu fais avec le résultat donné plus haut : il suffit de l'appliquer avec $a_n : x \mapsto f_n(x) - g_n(x)$, non ? Note que les conditions entraînent facilement une domination de $g$ par $u$.
Ce résultat reste d'ailleurs vrai pour n'importe quel ensemble de sommation à la place de $\mathbb N$. Encore une fois, je te conseille l'exercice qui consiste à le prouver.
Dans ton exemple on peut considérer $f_n(x) = \frac{x^2}{1+n^2x^2}$. -
@Siméon: oui ton théorème est en effet très proche du mien je reconnais !!
Le mien me semblait un peu plus général, mais effectivement on doit pouvoir le retrouver avec ta série $a_n$...mais je n'y avais point pensé et j'essayais d'adapter le théorème de convergence dominée "version intégrale" ( sans jeux de mots :-P ) de mon bouquin aux séries.
Mais comme je ne maîtrise pas très bien les espaces mesurés et les mesures de comptage ...j'ai fait comme j'ai pu avec les moyens du bord :-D
Je n'ai pas compris pourquoi il faut considérer $\frac{x^2}{1+n^2x^2}$ ? -
Je réchauffe le topic.
Je cherche des références bibliographiques (livres ou web) sur le théorème de convergence dominée "version discret " niveau licence que j'ai tenté d'énoncer quelques posts plus haut.
Je ne trouve rien...impossible de mettre la main dessus ? -
Car ceci est inclus dans la théorie des espaces mesurés (et des théorèmes de convergence associés au formalisme à la Lebesgue)
-
Ok, mais n' y a-t-il pas une version plus "light", genre niveau prépa où la théorie de Lebesgue est sous-jacente mais "camouflée" car hors programme ? :-D
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