Sommes partielles de l'exponentielle
Un étudiant m'a posé cette question. Après une rapide réflexion, je lui ai dit que j'y réfléchirais plus longtemps. Plus longtemps après, je suis toujours autant scotché. Voici la question.
Pour tout $t\le 0$, on pose $\displaystyle M(t)=\max_{n\in\N}\left|\sum_{k=0}^n\frac{t^k}{k!}\right|$. Existe-t-il un réel $m$ tel que $\displaystyle\lim_{t\to-\infty}\frac{M(t)}{|t|^m}=0$.
Alors là... La colle
Si quelqu"un a une solution, je suis preneur.
[En rouge correction d'une correction trop hâtive. Merci Joaopa de l'avoir signalé. AD]
Pour tout $t\le 0$, on pose $\displaystyle M(t)=\max_{n\in\N}\left|\sum_{k=0}^n\frac{t^k}{k!}\right|$. Existe-t-il un réel $m$ tel que $\displaystyle\lim_{t\to-\infty}\frac{M(t)}{|t|^m}=0$.
Alors là... La colle
Si quelqu"un a une solution, je suis preneur.
[En rouge correction d'une correction trop hâtive. Merci Joaopa de l'avoir signalé. AD]
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Réponses
Soit $s=-t$ alors $\displaystyle M(t)=\max_{n\in\N}\left|\sum_{k=0}^n\frac{(-s)^k}{k!}\right|\leq e^{-s}$
[size=x-small]J'ai un souci plutôt sur l'existence du Max[/size]
J'ai fait "un calcul" rapide avec la formule de Taylor de l'expo(-s) avec reste intégrale.
D’après side, il parait que c'est faux mon calcul
Non ?
Quels sont les $t\in\R_{-}$ pour lesquels $M(t) = |S_n(t)|$ ?
Selon ton message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1893752,1893864#msg-1893864 le max ne te pose aucun probleme. J'avais signalé dans mon premier que j'ai un souci pour ce max, je ne comprends [pas] pourquoi, il est atteint, pourquoi $M(t)$ existe pour tout $t<0$. Peux-tu m'expliquer ?
Je ne vois pas pourquoi le sup est bien un max
Pour construire $N_a$ on peut prendre un $m>a$ alors $\frac{a^m}{m!}$ est décroissante et donc $N_a=\lceil a\rceil + 2$ marche. Est-ce que c'est le bon ordre de grandeur pour l'indice qui maximise $|S_n(a)|$ ?
> Un étudiant m'a posé cette question. Après une
> rapide réflexion, je lui ai dit que j'y
> réfléchirai plus longtemps.
@AD Là, j'ai utilisé un futur dans la passé, donc grammaticalement il faut utiliser le conditionnel présent, n'est-ce pas?
[Tu as raison, j'ai raisonné trop vite :-(. Je corrige dans l'original. AD]