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Sommes partielles de l'exponentielle

Envoyé par Joaopa 
Sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 08:13
Un étudiant m'a posé cette question. Après une rapide réflexion, je lui ai dit que j'y réfléchirais plus longtemps. Plus longtemps après, je suis toujours autant scotché. Voici la question.

Pour tout $t\le 0$, on pose $\displaystyle M(t)=\max_{n\in\N}\left|\sum_{k=0}^n\frac{t^k}{k!}\right|$. Existe-t-il un réel $m$ tel que $\displaystyle\lim_{t\to-\infty}\frac{M(t)}{|t|^m}=0$.
Alors là... La colle

Si quelqu"un a une solution, je suis preneur.

[En rouge correction d'une correction trop hâtive. Merci Joaopa de l'avoir signalé. AD]



Modifié 3 fois. Dernière modification le 23/11/2019 13:43 par AD.
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 08:33
avatar
edit Ceci est faux, ne pas en tenir compte

Soit $s=-t$ alors $\displaystyle M(t)=\max_{n\in\N}\left|\sum_{k=0}^n\frac{(-s)^k}{k!}\right|\leq e^{-s}$

J'ai un souci plutôt sur l'existence du Max

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/11/2019 13:35 par gebrane.
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 08:45
@gebrane : d'où vient ton inégalité exactement ?
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 09:00
supp



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/06/2021 17:29 par side.
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 09:08
avatar
Poirot
J'ai fait "un calcul" rapide avec la formule de Taylor de l'expo(-s) avec reste intégrale.
D’après side, il parait que c'est faux mon calcul

Signature: Je suis de passage .
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 09:28
supp



Modifié 2 fois. Dernière modification le 24/06/2021 17:32 par side.
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 10:37
@gebrane : ton inégalité implique que $M(t)$ converge vers $0$ quand $t$ tend vers $-\infty$. C'est faux puisque $M(t) \geq 1$ pour tout $t \in \mathbb R$. Pire, on sait même que $M(t) \underset{t \to -\infty}{\longrightarrow} +\infty$ puisque $M(t) \geq 1 +t + \frac{t^2}{2}$ pour tout $t \in \mathbb R$.
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 11:11
avatar
Pour $n\in \N$ la fonction $S_n : t \mapsto \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$ est un polynôme de degré $n$ et on a évidemment $M(t) \geq |S_n(t)|$. Soit $m$ un entier fixé, on sait que $\lim_{t\to -\infty} \frac{|S_{m+1}(t)|}{|t|^m} = +\infty$ et on en déduit que $\lim_{t\to -\infty } \frac{M(t)}{|t|^m} = +\infty$.

Non ?
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 11:40
Tout simplement oui !
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 13:07
supp



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/06/2021 17:29 par side.
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 14:01
avatar
Soit $n\in\N$.

Quels sont les $t\in\R_{-}$ pour lesquels $M(t) = |S_n(t)|$ ?
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 14:09
avatar
Je me suis posé la même question que toi marsup (enfin plutôt sous la forme à $t$ fixé quel est le $n$ qui maximise $|S_n(t)|$). Cet ensemble de $t$ est une union finie d'intervalles bornés, j'aimerais bien dire que c'est en fait un seul intervalle mais je n'en sais rien pour l'instant.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/11/2019 14:17 par AD.
Re: sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 20:07
avatar
Bonjour Poirot
Selon ton message [www.les-mathematiques.net] le max ne te pose aucun probleme. J'avais signalé dans mon premier que j'ai un souci pour ce max, je ne comprends [pas] pourquoi, il est atteint, pourquoi $M(t)$ existe pour tout $t<0$. Peux-tu m'expliquer ?

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/11/2019 20:58 par AD.
Re: Sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 20:43
supp



Modifié 2 fois. Dernière modification le 24/06/2021 17:29 par side.
Re: Sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 20:53
avatar
side
Je ne vois pas pourquoi le sup est bien un max

Signature: Je suis de passage .
Re: Sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 20:54
@gebrane : je n'avais pas vu la partie en petit de ton message. C'est une bonne question. Je pense que l'on peut s'en convaincre comme ça : le critère des séries alternées permet de voir que, pour tout $t < 0$, il existe $n_0$ tel que la suite $\left(\displaystyle \sum_{k=n_0}^n \frac{t^k}{k!}\right)_n$ converge en oscillant. En particulier, cette suite atteint son maximum et son minimum, et notre suite est, à partir d'un certain rang, une translation de cette suite et donc atteint son maximum et son minimum.
Re: Sommes partielles de l'exponentielle
22 novembre 2019, 21:31
avatar
OK

Signature: Je suis de passage .
Re: Sommes partielles de l'exponentielle
23 novembre 2019, 00:59
Tu n'es pas convaincu ?
Re: Sommes partielles de l'exponentielle
23 novembre 2019, 01:27
$S_n(t)=\sum_{m\le n} \frac{t^m}{m!}$ converge uniformément vers $e^t$ sur $[-a,-1]$ donc $S_0(t) > e^{-t}+\frac12$ sur $[-a,-1]$ implique qu'il existe un $N_a$ tel que $$\sup_{n\le N_a} |S_n(t)| =\sup_n |S_n(t)| ,\qquad t\in [-a,-1]$$ Le comportement sur $[-1,0]$ se traite en disant que pour $n > 10$, $S_{2n}(t)$ est décroissante donc $\sup_n |S_n(t)|=\sup_{n\le 10}|S_n(t)|$.

Pour construire $N_a$ on peut prendre un $m>a$ alors $\frac{a^m}{m!}$ est décroissante et donc $N_a=\lceil a\rceil + 2$ marche. Est-ce que c'est le bon ordre de grandeur pour l'indice qui maximise $|S_n(a)|$ ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/11/2019 01:45 par reuns.
Re: Sommes partielles de l'exponentielle
23 novembre 2019, 02:02
Joaopa &eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> Un étudiant m'a posé cette question. Après une
> rapide réflexion, je lui ai dit que j'y
> réfléchirai plus longtemps.

@AD Là, j'ai utilisé un futur dans la passé, donc grammaticalement il faut utiliser le conditionnel présent, n'est-ce pas?

[Tu as raison, j'ai raisonné trop vite sad smiley. Je corrige dans l'original. AD]



Modifié 2 fois. Dernière modification le 23/11/2019 13:40 par AD.
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