Sommes partielles de l'exponentielle

Un étudiant m'a posé cette question. Après une rapide réflexion, je lui ai dit que j'y réfléchirais plus longtemps. Plus longtemps après, je suis toujours autant scotché. Voici la question.

Pour tout $t\le 0$, on pose $\displaystyle M(t)=\max_{n\in\N}\left|\sum_{k=0}^n\frac{t^k}{k!}\right|$. Existe-t-il un réel $m$ tel que $\displaystyle\lim_{t\to-\infty}\frac{M(t)}{|t|^m}=0$.
Alors là... La colle

Si quelqu"un a une solution, je suis preneur.

[En rouge correction d'une correction trop hâtive. Merci Joaopa de l'avoir signalé. AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

edit Ceci est faux, ne pas en tenir compte

Soit $s=-t$ alors $\displaystyle M(t)=\max_{n\in\N}\left|\sum_{k=0}^n\frac{(-s)^k}{k!}\right|\leq e^{-s}$

J'ai un souci plutôt sur l'existence du Max

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“En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux.”



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gebrane.

@gebrane : d'où vient ton inégalité exactement ?

Bonjour,

À vérifier, y'a quelques calculs à faire que je n'ai pas faits.
La suite est alternée croissante puis décroissante.
On s'intéresse juste à la partie croissante.
Soit $M(t) \ge |\sum_{k=1}^{n_t} t^{k}/k!|$ avec $n_t$ partie entière peut-être à une unité près (calcul à faire). Puis par une transformation d'Abel ou en utilisant le critère spécial des séries alternées en inversant l'ordre des termes, on devrait obtenir un minorant égal valeur absolue du dernier terme moins valeur absolue de l'avant dernier.
Ainsi si on considère pour $p\in \N^{*}, M(p+1/2)$ on devrait avoir $M(p+1/2)\ge (p+1/2)^{p?}/(p?)! (p+?)^{?}$ avec $?=1$ ou $-1$ et il manque peut être une constante.
Bref à vérifier, mais avec la formule de Stirling, la réponse serait alors négative.

Poirot
J'ai fait "un calcul" rapide avec la formule de Taylor de l'expo(-s) avec reste intégrale.
D’après side, il parait que c'est faux mon calcul

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“En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux.”

Enfin le '' d'après side'' est exagéré. Les calculs n'étant pas faits et le raisonnement très approximatif, c'était juste une idée à creuser. Donc ne pas se fier à ce que j'ai esquissé, si le reste intégral donne un résultat probant.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par side.

@gebrane : ton inégalité implique que $M(t)$ converge vers $0$ quand $t$ tend vers $-\infty$. C'est faux puisque $M(t) \geq 1$ pour tout $t \in \mathbb R$. Pire, on sait même que $M(t) \underset{t \to -\infty}{\longrightarrow} +\infty$ puisque $M(t) \geq 1 +t + \frac{t^2}{2}$ pour tout $t \in \mathbb R$.

Pour $n\in \N$ la fonction $S_n : t \mapsto \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$ est un polynôme de degré $n$ et on a évidemment $M(t) \geq |S_n(t)|$. Soit $m$ un entier fixé, on sait que $\lim_{t\to -\infty} \frac{|S_{m+1}(t)|}{|t|^m} = +\infty$ et on en déduit que $\lim_{t\to -\infty } \frac{M(t)}{|t|^m} = +\infty$.

Non ?

Tout simplement oui !

bien vu, c'était si simple.

Soit $n\in\N$.

Quels sont les $t\in\R_{-}$ pour lesquels $M(t) = |S_n(t)|$ ?

Je me suis posé la même question que toi marsup (enfin plutôt sous la forme à $t$ fixé quel est le $n$ qui maximise $|S_n(t)|$). Cet ensemble de $t$ est une union finie d'intervalles bornés, j'aimerais bien dire que c'est en fait un seul intervalle mais je n'en sais rien pour l'instant.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

Bonjour Poirot
Selon ton message [www.les-mathematiques.net] le max ne te pose aucun probleme. J'avais signalé dans mon premier que j'ai un souci pour ce max, je ne comprends [pas] pourquoi, il est atteint, pourquoi $M(t)$ existe pour tout $t<0$. Peux-tu m'expliquer ?

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“En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux.”



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.

Si on traduit, on a juste affaire à la borne sup d'une suite (tout ce qui suit c'est à $t$ fixé) dont tous les termes sont strictement positifs (dont le premier) et la suite tend vers 0. Une telle suite vérifie : pour $n$ assez grand tous les termes sont plus petits que le premier et le sup est bien un max.
Ça n'a donc rien à voir avec les valeurs numériques pour ce fil.

Pas tout à fait, la définition de la suite ne démarre pas à $k=0$, mais on peut adapter le raisonnement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.

side
Je ne vois pas pourquoi le sup est bien un max

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“En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux.”

@gebrane : je n'avais pas vu la partie en petit de ton message. C'est une bonne question. Je pense que l'on peut s'en convaincre comme ça : le critère des séries alternées permet de voir que, pour tout $t < 0$, il existe $n_0$ tel que la suite $\left(\displaystyle \sum_{k=n_0}^n \frac{t^k}{k!}\right)_n$ converge en oscillant. En particulier, cette suite atteint son maximum et son minimum, et notre suite est, à partir d'un certain rang, une translation de cette suite et donc atteint son maximum et son minimum.

OK

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“En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux.”

Tu n'es pas convaincu ?

$S_n(t)=\sum_{m\le n} \frac{t^m}{m!}$ converge uniformément vers $e^t$ sur $[-a,-1]$ donc $S_0(t) > e^{-t}+\frac12$ sur $[-a,-1]$ implique qu'il existe un $N_a$ tel que $$\sup_{n\le N_a} |S_n(t)| =\sup_n |S_n(t)| ,\qquad t\in [-a,-1]$$ Le comportement sur $[-1,0]$ se traite en disant que pour $n > 10$, $S_{2n}(t)$ est décroissante donc $\sup_n |S_n(t)|=\sup_{n\le 10}|S_n(t)|$.

Pour construire $N_a$ on peut prendre un $m>a$ alors $\frac{a^m}{m!}$ est décroissante et donc $N_a=\lceil a\rceil + 2$ marche. Est-ce que c'est le bon ordre de grandeur pour l'indice qui maximise $|S_n(a)|$ ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.

Joaopa &eacute;crivait:
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> Un étudiant m'a posé cette question. Après une
> rapide réflexion, je lui ai dit que j'y
> réfléchirai plus longtemps.

@AD Là, j'ai utilisé un futur dans la passé, donc grammaticalement il faut utiliser le conditionnel présent, n'est-ce pas?

[Tu as raison, j'ai raisonné trop vite . Je corrige dans l'original. AD]



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