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Sommes partielles de l'exponentielle

JoaopaJoaopa
dans Analyse
Un étudiant m'a posé cette question. Après une rapide réflexion, je lui ai dit que j'y réfléchirais plus longtemps. Plus longtemps après, je suis toujours autant scotché. Voici la question.

Pour tout $t\le 0$, on pose $\displaystyle M(t)=\max_{n\in\N}\left|\sum_{k=0}^n\frac{t^k}{k!}\right|$. Existe-t-il un réel $m$ tel que $\displaystyle\lim_{t\to-\infty}\frac{M(t)}{|t|^m}=0$.
Alors là... La colle

Si quelqu"un a une solution, je suis preneur.

[En rouge correction d'une correction trop hâtive. Merci Joaopa de l'avoir signalé. AD]

Réponses

  • gebranegebrane
    edit Ceci est faux, ne pas en tenir compte

    Soit $s=-t$ alors $\displaystyle M(t)=\max_{n\in\N}\left|\sum_{k=0}^n\frac{(-s)^k}{k!}\right|\leq e^{-s}$

    [size=x-small]J'ai un souci plutôt sur l'existence du Max[/size]
    Le 😄 Farceur


  • PoirotPoirot
    @gebrane : d'où vient ton inégalité exactement ?
  • sideside
    supp
  • gebranegebrane
    Poirot
    J'ai fait "un calcul" rapide avec la formule de Taylor de l'expo(-s) avec reste intégrale.
    D’après side, il parait que c'est faux mon calcul
    Le 😄 Farceur


  • sideside
    supp
  • PoirotPoirot
    @gebrane : ton inégalité implique que $M(t)$ converge vers $0$ quand $t$ tend vers $-\infty$. C'est faux puisque $M(t) \geq 1$ pour tout $t \in \mathbb R$. Pire, on sait même que $M(t) \underset{t \to -\infty}{\longrightarrow} +\infty$ puisque $M(t) \geq 1 +t + \frac{t^2}{2}$ pour tout $t \in \mathbb R$.
  • CortoCorto
    Pour $n\in \N$ la fonction $S_n : t \mapsto \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$ est un polynôme de degré $n$ et on a évidemment $M(t) \geq |S_n(t)|$. Soit $m$ un entier fixé, on sait que $\lim_{t\to -\infty} \frac{|S_{m+1}(t)|}{|t|^m} = +\infty$ et on en déduit que $\lim_{t\to -\infty } \frac{M(t)}{|t|^m} = +\infty$.

    Non ?
  • PoirotPoirot
    Tout simplement oui !
  • sideside
    supp
  • marsupmarsup
    Soit $n\in\N$.

    Quels sont les $t\in\R_{-}$ pour lesquels $M(t) = |S_n(t)|$ ?
  • CortoCorto
    Je me suis posé la même question que toi marsup (enfin plutôt sous la forme à $t$ fixé quel est le $n$ qui maximise $|S_n(t)|$). Cet ensemble de $t$ est une union finie d'intervalles bornés, j'aimerais bien dire que c'est en fait un seul intervalle mais je n'en sais rien pour l'instant.
  • gebranegebrane
    Bonjour Poirot
    Selon ton message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1893752,1893864#msg-1893864 le max ne te pose aucun probleme. J'avais signalé dans mon premier que j'ai un souci pour ce max, je ne comprends [pas] pourquoi, il est atteint, pourquoi $M(t)$ existe pour tout $t<0$. Peux-tu m'expliquer ?
    Le 😄 Farceur


  • sideside
    supp
  • gebranegebrane
    side
    Je ne vois pas pourquoi le sup est bien un max
    Le 😄 Farceur


  • PoirotPoirot
    @gebrane : je n'avais pas vu la partie en petit de ton message. C'est une bonne question. Je pense que l'on peut s'en convaincre comme ça : le critère des séries alternées permet de voir que, pour tout $t < 0$, il existe $n_0$ tel que la suite $\left(\displaystyle \sum_{k=n_0}^n \frac{t^k}{k!}\right)_n$ converge en oscillant. En particulier, cette suite atteint son maximum et son minimum, et notre suite est, à partir d'un certain rang, une translation de cette suite et donc atteint son maximum et son minimum.
  • gebranegebrane
    OK
    Le 😄 Farceur


  • PoirotPoirot
    Tu n'es pas convaincu ?
  • reunsreuns
    $S_n(t)=\sum_{m\le n} \frac{t^m}{m!}$ converge uniformément vers $e^t$ sur $[-a,-1]$ donc $S_0(t) > e^{-t}+\frac12$ sur $[-a,-1]$ implique qu'il existe un $N_a$ tel que $$\sup_{n\le N_a} |S_n(t)| =\sup_n |S_n(t)| ,\qquad t\in [-a,-1]$$ Le comportement sur $[-1,0]$ se traite en disant que pour $n > 10$, $S_{2n}(t)$ est décroissante donc $\sup_n |S_n(t)|=\sup_{n\le 10}|S_n(t)|$.

    Pour construire $N_a$ on peut prendre un $m>a$ alors $\frac{a^m}{m!}$ est décroissante et donc $N_a=\lceil a\rceil + 2$ marche. Est-ce que c'est le bon ordre de grandeur pour l'indice qui maximise $|S_n(a)|$ ?
  • JoaopaJoaopa
    Joaopa écrivait:
    > Un étudiant m'a posé cette question. Après une
    > rapide réflexion, je lui ai dit que j'y
    > réfléchirai plus longtemps.

    @AD Là, j'ai utilisé un futur dans la passé, donc grammaticalement il faut utiliser le conditionnel présent, n'est-ce pas?

    [Tu as raison, j'ai raisonné trop vite :-(. Je corrige dans l'original. AD]
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